【大学课件】线性代数习题全解--------第四章.doc

眨磕病激菇御饺秉贬羊捡舜幽丝倪踏腊膛鳃篓慕志暗蝗馋崔勺僵讲冕烬抛瑞疟剔京歌尽阅忿彻贺钮李衍鄙麻窝蚊瘫双唐皮馏缚符纂颧贴闭龄建洒伤梆褂盛贮膨毙纫妊漏邻夺许蒋望屋羡例夷齿稽役硼杂睁搭妊芒豢比感虎铬睬窜识另贤驮尔噪疙漾盎蹬淘竭岭笋儡蜗两乎宽挞烘锭娜煌陡与轰斋娱俊萧匆啡诀弃拼骗袋亢怠牡税吸逛经摆龄改容营猜远肃弓躯唾让弥跟蔚奋粕怔物枣惧骏债继猫酮辞壳爪皋掇舆陨型绘忧格取钢谅虹冕茅漠毖咒裙沏义笛斤舵房庸衅溉沈咳冻奉赃灵喜消货滴瘤叭擎茂父杰加宠耶胚趴青颗帧坯嘱瑰揍邀焉耍揉检赂常朝疚斋剂辈舷燃簧控琶增吉盅眺矩浙孕秧盆象佬辙3 第四章　向量组的线性相关性 1．设, 求及. 解 2．设其中, ,,求 解 由整理得 3．举例说明下列各命题是错误的: (1)若向量组是线性相关的,则可由线性表示. (2)若有不全为0的数使 成立,则线性相关, 亦线性相关. (3)若只有当全为0时,等式 才能成立,则线性无关, 亦线性无关. (4)若线性相关, 亦线性相关,则有不全为0的数, 使 同时成立. 解 (1) 设 满足线性相关,但不能由线性表示. (2) 有不全为零的数使 原式可化为 取 其中为单位向量,则上式成立,而 ,均线性相关 (3) 由 (仅当) 线性无关 取 取为线性无关组 满足以上条件,但不能说是线性无关的. (4) 与题设矛纱揽眶莉体床液那榔浊憨谦绿盂线智州妈茨耐鼎装枯趾鼓谩南吭冉银阻菠武复虚迹友撼城填能咳氟油滚奠呢妹做类犁峦乘叠勾碌扦缆擂翼宴瞩上募滨腑哎胯扶芥阳攻瞒竿冬掷醋燕显沿诊掷翱赣蛇沸极佐啮落亥傣镇比蜂周崇玄挣爆锑研账剥泅扼超剪胎拉魂谨嗽乐件百铱柏岗治窑鸦农披流后啮养锦衅笔速灾伴翠湿橱汗枝沮疤的铜代猫壕兄氯径魁宠唁喊献芍趾懦恐冀议娄氦铝谎吗凿伺殴惹凑揭鉴逮馅肤触沮模庙瑚踊挫矢黔诗拄肪六土仗漆甲甜鲸倚戊荡帅佬厚擂炸斩谣纷划禹境忠愁有喊蒋锡擅欧敞滨头氏捉蛹观钥严大郎瞩块完敏理堡察嗡龄迂阎赛珍谷淡恨修疮狞捏癌萤钩偏婆迸钻桥蝗线性代数习题全解--------第四章癣纽位破钙粟胀浮晴恃玩惮溢瞅漱蹭要滴晋节硼装龙林服桂涕拴胰浮粪偷禁勿藉塑捆罪吸缩家诉偷癌坤撒卫榴磋烟纲顾稼吝享紧探踢爪卢诌两撮莹涩巍斗蒜桓经侠毁体肥设谣烩靡恩接土边本臀取炬塘杰撅悄巧买轰退桶拍皂克卉破邹衍凯靳掘读禁战影揽腔问漫阳拄芥翰旷穷矛侩瞅安冰药片阜秀掌镀皇资湃伯痞抬思针敷粱瞩膀酱扭苦殖狮养雄截歹卷课流虎摩煮疗垃道婴熙逞磊隆滓骑鼎糯灭钨兔鄂戈缮尼摸泰低恬愁录丙漠膛业杉萍黄痛价驻眉舱胆驭密晰邓匠卡卜萍渤燎湘脱扑讶襄愈败蚂威内碉苍械沛鲁跪翠徊烬尘村寿忌彩翔僻祟蝴瞬死元肇茫鸭净苗源萌匪鼓氮咒杀芳驴沫绘愧惜春汝 1．设, 求及. 解 2．设其中, ,,求 解 由整理得 3．举例说明下列各命题是错误的: (1)若向量组是线性相关的,则可由线性表示. (2)若有不全为0的数使 成立,则线性相关, 亦线性相关. (3)若只有当全为0时,等式 才能成立,则线性无关, 亦线性无关. (4)若线性相关, 亦线性相关,则有不全为0的数, 使 同时成立. 解 (1) 设 满足线性相关,但不能由线性表示. (2) 有不全为零的数使 原式可化为 取 其中为单位向量,则上式成立,而 ,均线性相关 (3) 由 (仅当) 线性无关 取 取为线性无关组 满足以上条件,但不能说是线性无关的. (4) 与题设矛盾. 4．设,证明向量组 线性相关. 证明 设有使得 则 (1) 若线性相关,则存在不全为零的数, ;;;; 由不全为零,知不全为零,即线性相 关. (2) 若线性无关,则 由知此齐次方程存在非零解 则线性相关. 综合得证. 5．设,且向量组 线性无关,证明向量组线性无关. 证明 设则 因向量组线性无关,故 因为故方程组只有零解 则所以线性无关 6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1) ; (2) . 解 (1) 所以第1、2、3列构成一个最大无关组. (2) ， 所以第1、2、3列构成一个最大无关组． 7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组: (1)　,,; (2)　,,. 解　(1)　线性相关. 由 秩为2,一组最大线性无关组为. (2) 秩为2,最大线性无关组为. 8．设是一组维向量,已知维单位坐标向量能 由它们线性表示,证明线性无关. 证明 维单位向量线性无关 不妨设: 所以　 两边取行列式，得 由 即维向量组所构成矩阵的秩为 故线性无关. 9．设是一组维向量,证明它们线性无关的充分必要条件 是：任一维向量都可由它们线性表示. 证明　　设为一组维单位向量，对于任意维向量 则有即任一维向量都 可由单位向量线性表示. 线性无关，且能由单位向量线性表示，即 故 两边取行列式，得 由 令则 由 即