同济大学_线性代数_习题解答_第四章.pdf

第四章 向量组的线性相关性 1．设v1 (1, 1, 0)T , v2 (0, 1, 1)T , v3 (3, 4, 0)T , 求v1  v2 及3v1  2v2  v3 . 解 v1  v2 (1, 1, 0)T  (0, 1, 1)T (1 0, 1 1, 0  1)T (1, 0,  1)T 3v  2v  v 3(1, 1, 0)T  2(0, 1, 1)T  (3, 4, 0)T 1 2 3 (3 1 2 0  3, 3 1 2 1 4, 3 0  2 1 0)T (0, 1, 2)T 2．设3(a1  a)  2(a2  a) 5(a3  a) 其中a1 (2,5,1,3)T , T T a2 (10,1,5,10) , a3 (4,1,1,1) ,求a 解 由3(a1  a)  2(a2  a) 5(a3  a) 整理得 1 1 T T T a (3a  2a  5a ) [3(2,5,1,3)  2(10,1,5,10)  5(4,1,1,1) ] 1 2 3 6 6 (1,2,3,4)T 3 ．举例说明下列各命题是错误的: (1)若向量组 是线性相关的,则 可由 线性表示. a , a , , a a a , a , 1 2 m 1 2 m (2)若有不全为0 的数 ,  , ,  使 1 2 m  a    a   b    b 0 1 1 m m 1 1 m m 成立,则a , , a 线性相关, b , , b 亦线性相关. 1 m 1 m (3)若只有当 ,  , ,  全为0 时,等式 1 2 m  a    a   b    b 0 1 1 m m 1 1 m m 才能成立,则a , , a 线性无关, b , , b 亦线性无关. 1 m 1 m (4)若a , , a 线性相关, b , , b 亦线性相关,则有不全为0 的数, 1 m 1 m  ,  , ,  使 a    a 0,  b    b 0 1 2 m 1 1 m m 1 1 m m 同时成立. 解 (1) 设a1 e1 (1,0,0, ,0) a a  a 0 2 3 m a , a , , a a a , , a , 满足 线性相关,但 不能由