线性代数第四章习题集答案解析.doc

习题四答案 (A) 1． 求下列矩阵的特征值与特征向量: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解 （1）矩阵的特征多项式为 ， 所以的特征值为． 对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值2的全部特征向量为 (为任意常数)． 对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值4的全部特征向量为 (为任意常数)． （2）矩阵的特征多项式为 ， 所以的特征值为，，． 对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值-1的全部特征向量为 (为任意常数)． 对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值1的全部特征向量为 (为任意常数)． 对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值3的全部特征向量为 (为任意常数)． (3) 矩阵的特征多项式为 ， 所以的特征值为，，． 对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值1的全部特征向量为 (为任意常数)． 对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值4的全部特征向量为 (为任意常数)． 对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值-2的全部特征向量为 (为任意常数)． (4)矩阵的特征多项式为 ， 所以的特征值为（二重），． 对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值1的全部特征向量为 (为任意常数)． 对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值2的全部特征向量为 (为任意常数)． (5)矩阵的特征多项式为 ， 所以的特征值为，（二重）． 对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值0的全部特征向量为 (为任意常数)． 对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值2的全部特征向量为 (为任意常数)． (6)矩阵的特征多项式为 ， 所以的特征值为，（二重）． 对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值6的全部特征向量为 (为任意常数)． 对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，，所以的属于特征值2的全部特征向量为 (为不全为零的任意常数)． 2． 设为阶矩阵， (1) 若，且存在正整数，使得(称为幂零矩阵)，证明:的特征值全为零； (2) 若满足(称为幂等矩阵)，证明:的特征值只能是0或1； (3) 若满足(称为周期矩阵)，证明: 的特征值只能是1或． 证明：设矩阵的特征值为，对应的特征向量为，即. （1）因，而故.又因，故，得 （2）因，而故，即又因，故，得或1. （3）同（2）可得，即又因，故，得或. 3． 设分别为阶矩阵的属于不同特征值和的特征向量，证明:不是的特征向量． 证明：反证法.若是的特征向量，相应的特征值为，则有 ， 即.又因分别为矩阵的属于特征值和的特征向量，即，，则 ，即. 因是矩阵的属于不同特征值的特征向量,故线性无关，于是可得，即，矛盾. 4． 证明定理4.4. 若是阶矩阵的特征值，则 (1)设，则是的特征值，其中； (2)若可逆，则，且是的特征值，是的伴随矩阵的特征值． 证明：设矩阵属于特征值的特征向量为，即. （1）因 故是的特征值. （2）因可逆，故.而为的特征值之积，故的特征值.用左乘两端得 . 因，故，即是的特征值. 因，故是的伴随矩阵的特征值． 5． 证明:矩阵可逆的充分必要条件是的特征值全不等于零． 证明：因矩阵可逆，故.由是的全部特征值）得，故. 6． 已知三阶矩阵的特征值为1，2，3，求的特征值． 解：由矩阵的特征值的性质得 的特征值为，，； 的特征值为； 因的特征值为. 7． 是三阶矩阵，已知，求． 解：因，故三阶矩阵的全部特征值为－1，2，3.因此的特征值为于是. 8． 已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，求常数的值． 解：因是的特征向量，故也是的特征向量.设对应的特征值为，于是由可得 ， 解得或. 9． 证明:如果矩阵可逆，则． 证明：因，且可逆，则． 10． 如果，证明：存在可逆矩阵，使得． 证明：因，故存在可逆矩阵，使得.将上式两端右乘，得，即. 11． 如果，，证明:． 证明：因，，故存在可逆矩阵，使得 . 于是有 . 而可逆，故. 12． 已知为二阶矩阵，且，证明:存在可逆矩阵，使得为对角矩阵． 证明：为二阶矩阵，且，故必有两个不等特征值，因此必存在可逆矩阵，使得为对角矩阵． 13． 已知矩阵与矩阵相似，求 (1) 常数和的值； (2) 可逆矩阵，使得． 解：（1）因，故有相同的特征值.而的特征值为，故－1，2也是的特征值.而