线性代数居余马第六章二次型.ppt

第6章 二次型; 如果令aji = aij (1?ij?n) ，则上式可以表示为;其中 x=(x1,x2,?,xn)T?Rn， A=(aij)n?n 是实对称矩阵,称为二次型 f 对应的矩阵。;若 A, B都 是实对称矩阵, 且对应的二次型 相同，即;例1 设;例2 设向量?在自然基{?1, ?2} 下的坐标 x=(x1, x2)T 满足;将(2)式x =Cy 代入，得;即找矩阵C，使B =CTA C 为对角阵。;6.2 化二次型为标准形;用Schmidt正交化方法(正交化，单位化) 得;三个特征值决定二次曲面的类型。;*例2 将一般二次曲面方程; 将(3)式代入(1)式的一次项部分，曲面方程化为;6.2.2 配方法和初等变换法化二次型为标准形;在上式中，再对 x22?4x2x3 配成完全平方;就是坐标变换 x=Cy ，式中的矩阵就是变换矩阵C。; 例4 用配方法化二次型 f (x1, x2, x3)= 2 x1 x2 ? 2x1 x3 + 2 x2 x3 ? 为标准形，并求所做的坐标变换。;得二次型的标准形 f(x1, x2, x3) = 2z12 ? 2z2 + 2z32 即 x TA x = z T? z ;变换矩阵; (1) 如果用倍加初等阵 Eji(c) 右乘A（即A的第i列乘c加到第j列），那么相应地也用 EjiT(c)=Eij(c) 左乘A （即列变换后的A的第i行乘c加到第j行）。变换后的矩阵EjiT(c) A Eji(c) 仍是对称阵。 (2) 如果用Ei(c) 右乘A ，则也用EiT(c)左乘A ，即A的第i列和第i行都乘非零常数c ，显然 EiT(c) A EiT(c) 仍是对称阵。 (3) 如果用 Eij 右乘A ，则也用 EijT左乘A ，即A的第i列与第j 列及第i行与第j行同时对换位置，如此所得的 EijT A Eij 也是对称阵。 ; (2)如果a11=0，但存在 aii?0，先将第1列与第i列对换，第1行与第i行对换，就把 aii 换到第1行第1列的位置，化为(1)。 (3)如果aii=0(i=1,2,?,n)，? aij?0, 可将第j 列加到第i列, 将第j 行加到第i行,第i行第i列的元素化为 2aij ?0，就化为(2)。; 用数学归纳法可以证明：对任一个n 阶实对称矩阵A， 都存在初等矩阵 P1,P2,?,Pk, 使得 PkT?P2TP1TAP1P2?Pk= CTAC =diag(d1,d2,?,dn) 其中 C= P1P2?Pk =I P1P2?Pk 即对A做的列变换同样施加于单位矩阵I，即得变换矩阵C。;做变换x=Cy，其中; 解 同上题做法：;做变换x=Cy，;*6.3 惯性定理和二次型的规范形; 用反证法：假设 pt，此时由(1),(2)可得 f= b1y12+? +bt yt2+bt+1yt+12+ ?+ bpyp2? bp+1yp+12?? ? br yr2 = c1z12+?+ ct zt2? ct+1 zt+12? ? ? cp zp2? cp+1 zp+12? ? ? cr zr2; 非零解中y1,y2,?,yp 不全为零，将其代入(4)式，得 f = b1y12+? +bt yt2+bt+1yt+12+ ?+ bpyp2 0 (7) 将(6)的非零解代入(5)式得到 z1,…,zt,…,zn 的一组值 （其中 z1=z2=?=zt=0），将它们再代入(4)式，又得 f= ? ct+1 zt+12 ? ? ?cp zp2 ? ? ? cr zr2?0 (8) (7),(8)二式显然是矛盾的，故假设的pk不能成立，必有 p? k; 定义6.3 二次型xTAx 的标准形中，正平方项的个数 p 和负平方项的个数 q=r? p 分别叫做二次型或A 的正、负惯性指数。 称 p? q=2 p? r 为符号差。 秩(A)=r 也叫二次型的秩。; 证 由定理6.3知 ，存在C1, 使 C1TAC1= diag(d1, ?,dp,? dp+1, ?,? dp+q, 0,?,0) 其中di0(i=1, ?,p+q)。 取可逆阵; 若n阶实对称矩阵A 与B 合同，也称对应的二次型 xT A x 和 xT B x 合同。;6.4 正定二次型和正定矩阵; (1) n元实二次型(标准形) f=(x1,x2,?,xn)= d1