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《线性代数》第六章习题解答.doc

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PAGE PAGE 10 《线性代数》第六章习题解答 2.(1) (2)方法同(1) 4. (1) 得特征值为. 当时,特征向量为, 当时, ,当时, . 由于为不同特征值的特征向量,故正交,只须直接单位化即可,得 即将二次型化为. (2) , 得特征值为. 当时,特征向量为, 当时, ,当时, . 由于为不同特征值的特征向量,故正交,只须直接单位化即可. 将单位化为: , 即将二次型化为。 (3) 得特征值为. 当时, ,行初等变换为阶梯形 , 首非0元在第1、3列取得,为自由变量, 令 得对应的二个特征向量 当时, ,行初等变换为阶梯形 , 类似于情形,得对应的二个特征向量. 很明显,两两正交,直接单位化为: 即将二次型化为标准形:。 5. . 用第4题方法求得正交变换为, . 6. 求得 原方程变成是个旋转椭球面. 7.关于用二次型配方法求标准形,课本缺少明确的讲解,现补充一定理: 定理 任意二次型都可以通过非退化线性替换化为标准形(平方和形式)。 证明 不妨设,否则已经为标准形了,下面对作数学归纳法, 对时,已为平方和, 假设对元的二次型定理成立,现证对元二次型定理也成立, 设, 分二种情况讨论 若含有平方项,即有某个,不妨设, 我们可采用配方法,把含的项集中在一起进行配方, 其中为元的二次型, 令, 即变换 使. 由归纳法假设,对有变换使之等于, 于是二个变换相乘就把变为 根据归纳法,故结论成立。 (2)若不含平方项,但至少有一个,不妨设, 作非退化线性替换 将化为第(1)种情况。 现在,我们用这个定理的方法解答第7题的(4)小题: 把中含的所有项置于前面,再配方, 令,将看成常数,解以为变量的方程组,得 , 即线性变换将二次型化为标准形:。 第(1)、(2)题方法同第(4)题, 第(3)题,先令,化为有平方项的情形,再使用同于(4)题的方法解之。 8., 令 在下,,因此二次型的正惯性指数为1。 A的所有主子式为正,故A正定。 故A是负定的。 A为正定。 A为负定。 A为正定。 A为负定。 当时A为正定。 当时A为正定,解得。 13.A正定A的正惯性指数为,即A合同于E, 可逆矩阵C, 14.(1)先证明一个命题:若为A的一个非0特征值, 则为的一个特征值。 证:设 有特征值,(特征向量为). 再证本题:A正定 正定。 设A正定,A的所有特征值为正,, 的所有特征值, 所有特征值为正,正定。 15.证法一:A、B正定,对 故A+B正定。 证法二:A、B正定, 则A和B的主子式 而A+B的阶主子式 A+B为正定。
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