《线性代数》第六章习题解答.doc
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《线性代数》第六章习题解答
2.(1)
(2)方法同(1)
4.
(1)
得特征值为.
当时,特征向量为, 当时, ,当时,
.
由于为不同特征值的特征向量,故正交,只须直接单位化即可,得
即将二次型化为.
(2)
,
得特征值为.
当时,特征向量为, 当时, ,当时,
.
由于为不同特征值的特征向量,故正交,只须直接单位化即可.
将单位化为:
,
即将二次型化为。
(3)
得特征值为.
当时, ,行初等变换为阶梯形
,
首非0元在第1、3列取得,为自由变量,
令
得对应的二个特征向量
当时, ,行初等变换为阶梯形
,
类似于情形,得对应的二个特征向量.
很明显,两两正交,直接单位化为:
即将二次型化为标准形:。
5.
.
用第4题方法求得正交变换为,
.
6.
求得
原方程变成是个旋转椭球面.
7.关于用二次型配方法求标准形,课本缺少明确的讲解,现补充一定理:
定理 任意二次型都可以通过非退化线性替换化为标准形(平方和形式)。
证明 不妨设,否则已经为标准形了,下面对作数学归纳法,
对时,已为平方和,
假设对元的二次型定理成立,现证对元二次型定理也成立,
设,
分二种情况讨论
若含有平方项,即有某个,不妨设,
我们可采用配方法,把含的项集中在一起进行配方,
其中为元的二次型,
令,
即变换
使.
由归纳法假设,对有变换使之等于,
于是二个变换相乘就把变为
根据归纳法,故结论成立。
(2)若不含平方项,但至少有一个,不妨设,
作非退化线性替换
将化为第(1)种情况。
现在,我们用这个定理的方法解答第7题的(4)小题:
把中含的所有项置于前面,再配方,
令,将看成常数,解以为变量的方程组,得
,
即线性变换将二次型化为标准形:。
第(1)、(2)题方法同第(4)题,
第(3)题,先令,化为有平方项的情形,再使用同于(4)题的方法解之。
8.,
令
在下,,因此二次型的正惯性指数为1。
A的所有主子式为正,故A正定。
故A是负定的。
A为正定。
A为负定。
A为正定。
A为负定。
当时A为正定。
当时A为正定,解得。
13.A正定A的正惯性指数为,即A合同于E,
可逆矩阵C,
14.(1)先证明一个命题:若为A的一个非0特征值,
则为的一个特征值。
证:设
有特征值,(特征向量为).
再证本题:A正定 正定。
设A正定,A的所有特征值为正,,
的所有特征值,
所有特征值为正,正定。
15.证法一:A、B正定,对
故A+B正定。
证法二:A、B正定,
则A和B的主子式
而A+B的阶主子式
A+B为正定。
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