线性代数居余马第6章节二次型.ppt

第6章 二次型 6.1 二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵 其中系数是数域F 中的数，叫做数域F上的n 元二次型（简称二次型）。实数域上的二次型简称实二次型。 定义6.1 n元变量x1,x2,?,xn的二次齐次多项式 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 如果令aji = aij (1?ij?n) ，则上式可以表示为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 其中 x=(x1,x2,?,xn)T?Rn， A=(aij)n?n 是实对称矩阵,称为二次型 f 对应的矩阵。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 若 A, B都 是实对称矩阵, 且对应的二次型 相同，即 证 先取x为单位向量 ei = (0, ?,1, ?,0)T (第i个分量为1, 其余为 0)，代入上式得 aii=bii (i=1, 2, ?, n) 再取 x 为向量 eij = (0, ?,1, ?,1, ? ,0)T(第 i, j个分量为1, 其余为0)，代入上式得 aij=bij (i?j) 则 A=B。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例1 设 则它对应的矩阵为 如果n维向量?在两组基B1={?1,?2,?,?n}和 B2 ={?1,?2,?,?n} 下的坐标向量分别 x=(x1, x2,?, xn)T 和 y=(y1, y2,?, yn)T 又 (?1, ?2,?, ?n)=(?1, ?2,?, ?n) C 则 x=C y f(?) = x TA x = yT(C TA C)y , B = C TA C 故 f(?) 在基B1和B2 下对应的矩阵分别是A和 B = C TA C 。 yT(CTA C)y 是 y1,y2,?,yn 的一个二次型。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例2 设向量?在自然基{?1, ?2} 下的坐标 x=(x1, x2)T 满足 若做基变换，把{?1, ?2}逆时针旋转45? 变成{?1, ?2,}即 则?在 {?1, ?2,}下的坐标 y=(y1, y2)T 满足 (1) (1)式用矩阵表示为 (2) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 将(2)式x =Cy 代入，得 x TA x = yT(CTAC)y 在{?1, ?2}坐标系下， 方程(1)化为标准方程 这是一个椭圆（见右图）。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 即找矩阵C，使B =CTA C 为对角阵。 定义6.2 对矩阵A和B, 如果存在可逆矩阵C ，使得 B= CTA C， 就称矩阵A 相合(或合同)于B （记作A ? B)。 矩阵的相合关系是一种等价关系，具有以下性质： (1) 自反性， ? A ? Mn(F), A ? A； (2) 对称性， ? A, B ?Mn(F), 若A ? B, 则 B ? A； (3) 传递性， ? A, B, C ?Mn(F