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线性代数居余马行列式.ppt

发布:2017-11-16约2.81千字共36页下载文档
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第1章 行列式 1.1 n 阶行列式的定义及性质 * * 二阶行列式用于解二元一次联立方程组 32 31 22 21 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a 三阶行列式用于解三元一次联立方程组 其中 , D D x , D D x , D D x 3 3 2 2 1 1 = = = a a b a a b a a b D 33 32 3 23 22 2 13 12 1 1 = a b a a b a a b a D 33 3 31 23 2 21 13 1 11 2 = 3 32 31 2 22 21 1 12 11 3 b a a b a a b a a D = 定义 由n2个数aij(i,j=1,2,?,n)组成的n 阶行列式是一个算式 其中:aij称为行列式的第i行,第j列的元素; 当n=1时,D=a11 当n?2时, 1.1.1 n 阶行列式的定义(递归法) D= M1j 称为a1j的余子式; Mij是划去D的第i行第j列后的n?1阶行列式; A1j =(-1)1+j M1j称为a1j的代数余子式。 例1 对角行列式,上、下三角行列式 例2 Dn= =(?1)n(n?1)/2a1a2?an?1an = (?1)n?1 an Dn-1 =? =(?1)n+1 an Dn-1 =(?1)n?1 an (?1)n?2 an?1 Dn-2 1.1.2 n 阶行列式的性质 行列式对行和列有相同的性质(下面主要用行讲) 性质1 行列式D的行与列依次互换,则行列式的值不变 性质2 行列式对任一行 (或列) 按下式展开,其值相等,即 性质3(线性性质) 推论 若行列式有一行元素全为零,则行列式的值等于零(k=0)。 性质4 若行列式有两行元素相同,则行列式的值为0 用归纳法证明:n=2 成立。设命题对 n -1 阶行列式 成立,对第 i, j 行相同的 n 阶行列式D,对第 k (k?i, j) 行展开,得 推论 行列式有两行元素成比例,则行列式的值为0。 性质5 将行列式的某一行乘以常数加到另一行(对行列式作倍加行变换), 则行列式的值不变。 性质6 若行列式两 行对换,行列式的值反号,即 证明 将左边第j行加到第i行;再将第i 行乘(?1)加到第j行。于是 将上式第j行加到第i行,再提出第j行的公因子(?1),即得 左边 =右边 性质7 行列式某一行元素与另一行相应元素 的代数余子式的乘积之和等于零,即 证明 把行列式D的第 i行换成第 j行 =0 是克罗内克(Kronecker)符号 两式可合写为 同理,对列展开,有 计算方法:利用定义或性质 例1 上、下三角行列式均等于其主对角元素的乘积 例2 = ?2?(3/2)= ?3 1.2 n 阶行列式的计算 例3 第3列乘4加到第1列 对第1行展开 第1行化为只有一个非0元 将第3列乘 ?1加到第1列 再将第3列乘2加到第2列 对第3行展开 例4 证明: 把左端行列式的第2, 3列加到第1列,提出公因子2 证法1 将第2, 3列加到第1列 提出第2, 3列的公因数(?1) 再作两次列对换 把第1列乘(?1)加到第2, 3列 证法2 用性质3,将左式表示成23个行列式之和(n阶可以表示成2n个) 。 =右式 对换2次 拆成8个,其中有6个行列式各有两列相等而等于零 例5 计算n阶行列式 Dn的每行元素之和均为a+(n?1)b把各列加到第1列 提出公因子a+(n?1)b 将第1行乘(?1)加到其余各行,化为上三角行列式 解 例6 设 x y z ? 0, 计算 将第2列乘(x/y), 第3列乘(x/z) 都加到第1列 解法1 第1行乘(?1) 加到第2, 3行 上三角行列式 解法2 拆项法 得 D=yz+2xz+3xy+xyz 将D表示成23个行列式之和 (拆第1列) 拆第2,3列,除去有两列成比例而等于零的 z y x y x z x z y 0 0 0 0 0 0 3 0 0 3 0 3 0 2 0 0 2 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 + + + = 例7 解 例8 证明n阶范德蒙(Vandermonde)行列式 (i?j 时, xi? xj) 证明 用数学归纳法. n=2成立 假设对n-1阶命题成立 从第n行起, 依次 将前一行乘(?x1) 加到后一行 对第1列展开 提出公因子 是x2,?,xn的n?1阶 范德蒙行列式,由 归纳假设得 例9 A B C A B k?k m?
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