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线性代数义行列式.doc

发布:2017-04-03约6.48千字共14页下载文档
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第一章 行列式 第一节 行列式的定义. 一 排列的逆序数 将数按照某个顺序排成一行, 称为一个阶排列. 记作. 共有种不同的阶排列. 按照从小到大的顺序称为标准顺序. 而排列称为标准排列. 定义1.1 如果在一个排列中, 某两个数的先后顺序与标准顺序相反, 则称有一个逆序. 这个排列的逆序的总数称为该排列的逆序数. 在阶排列中, 标准排列的逆序数最小, 等于0. 而排列的逆序数最大, 等于. 定义1.2 如果一个排列的逆序数是奇数(偶数), 则称其为奇排列(偶排列). 例如, 共有6个三阶排列, 其中, , 是偶排列, 而, , 是奇排列. 定义1.3 在排列中, 将任意两个数对调, 其余数不动, 这种产生新排列的过程称为对换. 将两个相邻的数对换, 称为相邻对换. 定理1.1 一个排列中的任意两个数对换, 排列改变其奇偶性. 证 如果这两个数相邻, 进行对换时, 只改变这两个数的先后顺序. 因此, 逆序数或者增加1, 或者减少1. 即进行相邻对换时, 奇偶性改变. 考虑排列, 其中. 为完成与的对换, 其余数不动,可按照下面方式进行. 先将与对换, 再将与对换, 继续进行, 直至与相邻. 在这个过程中, 逐渐向后移动, 而其他数的先后顺序不变. 如此共进行次对换, 得到排列. 然后将与对换, 再将与对换, 继续进行, 直至向前移动到的左边为止. 此时恰好得到排列.如此又进行次相邻对换. 总计进行次相邻对换, 因此, 必然改变奇偶性. 如果用定义计算一个排列的逆序数, 需要观察任意一对数的先后顺序, 比较繁琐. 考虑的一个排列, 任取一个数, 如果有个比大的数排在的前面, 则称是的逆序数. 所有数的逆序数的和就是排列的逆序数. 例1.1 求排列32514的逆序数. 解 按照上面的方法, 得逆序数为. 例1.2 设, 求证: 在阶排列中, 奇排列与偶排列各占一半. 证 将一个奇排列中的数1与2对换, 产生一个偶排列. 反之, 将一个偶排列中的数1与2对换, 产生一个奇排列. 如此建立奇排列与偶排列之间的一一对应. 因此, 在阶排列中, 奇排列与偶排列的个数相等. 二 行列式定义 以前学过二阶与三阶行列式: ; . 为了将他们推广, 首先研究三阶行列式的结构. 行列式中的数称为它的元素. 其中元素组成行列式的第行, 元素组成行列式的第列, 元素组成行列式的主对角线. 每个元素有两个下标. 第一个是行标, 表示该元素属于第行. 第二个是列标, 表示该元素属于第列. 在形式上, 三阶行列式是一个数表. 而实质是其元素的一个多项式. 这个多项式由六项组成, 每项包含三个元素的乘积. 这三个元素分别属于不同的行, 不同的列. 现在每一项中元素的行标组成标准排列, 则其列标恰组成所有的三阶排列. 而且, 如果列标排列是奇排列, 则前面是负号. 如果列标排列是偶排列, 则前面是正号. 于是, 可以将三阶行列式写作 , 其中是列标排列的逆序数, 求和遍及所有三阶排列. 按照三阶行列式的结构进行推广, 得到阶行列式的定义. 定义1.4 称 为阶行列式, 其中是列标排列的逆序数, 而求和遍及所有阶排列. 常将行列式简记作. 如果需要明确行列式的阶, 则将阶行列式记作. 一个阶行列式有项. 当时, 其中正项与负项各占一半. 与三阶行列式类似,阶行列式也是其元素的多项式. 因此, 如果行列式的元素都是数, 则行列式也是数. 如果行列式的元素是某些字母的多项式, 则行列式也是这些字母的多项式. 注意 一阶行列式与数的绝对值的符号相同, 但意义不同. 作为行列式,而作为数的绝对值. 因此必须用文字严格区分这两种不同对象. 例1.3 求四阶行列式中包含元素的所有负项. 解 在四阶排列中, 数3在第二个位置的共有6个. 其中的奇排列为1324, 2341与4312. 于是, 四阶行列式中包含元素的负项为 , , . 当较大时, 阶行列式中的项很难一一列举. 不过, 如果一个行列式的许多元素等于0, 则不等于0的项数将大大减少. 例1.4 求证:行列式. 证 为了得到非零项, 在第行中只能取. 此后不能再取第列的其他元素. 因此,在第行只能取. 继续这个讨论可得: 行列式只有一个正项. 在这个行列式中, 主对角线下面的元素都等于0, 称为上三角行列式. 类似定义下三角行列式, 且有相同结果. 例1.5 求证: 行列式. 证 仿照例1.4的推理, 这个行列式也只有一个非零项. 当该项的行标组成标准排列时, 它的列标排列为. 逆序数为.
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