线性代数 行列式的展开.ppt

一、余子式与代数余子式二、n阶行列式展开定理三、小结与思考《线性代数》第四节行列式的展开第四节行列式的展开

定义1.6在n阶行列式D中,(k阶)子式N任选k行k列相交处元素构成的行列式.(N的)余子式M划去N所在行列后,剩余元素构成的行列式.一、余子式与代数余子式

(N的)代数余子式AM带上N的符号N所在的行N所在的列

例如:四阶行列式D的2阶子式N的余子式N的代数余子式2110111111320121---=D1113=MMA-=-=+++111314131）（）（）（

2110111111320121---=D再如:四阶行列式D的1阶子式余子式代数余子式21111111311--=M12211111113)1(111111-=--=-=+MA

2110111111320121---=DD的1阶子式余子式代数余子式21011111212--=M9210111112)1(122112=---=-=+MA

2110111111320121---=D21011113213-=M5210111132)1(133113-=-=-=+MAD的1阶子式余子式代数余子式

2110111111320121---=DD的1阶子式余子式11011113214-=M2110111132)1(144114-=--=-=+MA代数余子式

n阶行列式D等于它的任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即二、n阶行列式展开定理定理1.3按行展开

或按列展开注意按某行（列）展开，是降阶简化计算行列式的重要方法，特别适用于某行（列）零元较多的情形。

证明：分三种情形讨论

例3解（1）直接按第一行展开计算2110111111320121---=D1414131312121111AaAaAaAaD+++=

3121010001431110---=2110111111320121---=D（2）先化简再展开321043110--=3210431101133---=+))((11=

由定理3，可得重要推论推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

例4设D的(i,j)元的余子式和代数余子式依次记做，求

?例5计算范德蒙行列式解从第n行开始，依次减去上一行的倍。

得

按第一列展开后，从每列提取一个公因式得原行列式与低一阶的范德蒙行列式间的关系

依此类推，可得

练习计算行列式解2764812591642534251111=D）（）（）（）（）（）（525424532343-×-×-×-×-×-=D

定理1.4（拉普拉斯定理）若在n阶行列式D中，任意选取k行k列，这样组成的所有k阶子式其对应的代数余子式乘积之和等于行列式D的值。（证略）

例

1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结与思考

思考题求第一行各元素的代数余子式之和

思考题解答解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成