线性代数与 矩阵 第2节 行列式 .ppt

* 第二章 矩阵与行列式 §2.2 行列式 1阶方阵A = [a11]的行列式|A|定义为a11. a11 a12 a21 a22 2阶方阵A = 的行列式|A|定义为 a11 a12 a21 a22 |A| = = a11a22 ? a12a21. a11 a12 a21 a22 a11(?1)1+1a22 + a12 (?1)1+2a21 a11 a12 a21 a22 ? 一. 行列式(determinant)的定义 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 第二章 矩阵与行列式 §2.2 行列式 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11的余子式: a22 a23 a32 a33 M11 = 代数余子式: A11 = (?1)1+1M11 a12的余子式: a21 a23 a31 a33 M12 = 代数余子式: A12 = (?1)1+2M12 a13的余子式: M13 = 代数余子式: A13 = (?1)1+3M13 a21 a22 a31 a32 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ? 第二章 矩阵与行列式 §2.2 行列式 3阶方阵A = 的行列式|A|定义为 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 |A| = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11A11 + a12A12 + a13A13 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ? a11 a23 a32 ? a12 a21 a33 ? a13 a22 a31 . ? 第二章 矩阵与行列式 §2.2 行列式 一般地, 在n阶行列式中, 把元素aij所在的第i行 和第j列划去, 留下来的n?1阶行列式叫做元素 aij的余子式(minor), 记作Mij, 令Aij = (?1)i+jMij, 并称之为aij的代数余子式(cofactor). 例如, 四阶阶行列式 中a32的余子式为 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 a11 a13 a14 a21 a23 a24 a41 a43 a44 M32= , 代数余子式A32 = (?1)3+2M32 = ?M32. ? 第二章 矩阵与行列式 §2.2 行列式 补充. 数学归纳法(Principle of mathematical induction) 1. 第一数学归纳法原理: 则P对于任意的自然数n?n0成立. ? 设P是一个关于自然数n的命题, 若 ① P对于n = n0成立. ② 当n?n0时, 由“n = k时P成立”可推出 “n = k+1时P成立”, 第二章 矩阵与行列式 §2.2 行列式 2. 第二数学归纳法原理: 设P为一个关于自然数n的命题, 若 ① P对于n = n0成立, ② 由“n0 ? n ? k时P成立”可推出 “n = k+1时P成立”, 则P对于任意的自然数n?n0成立. ? 第二章 矩阵与行列式 §2.2 行列式 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann = a11A11+a12A12+…+a1nA1n 假设n?1阶行列式已经定义, ? = a11(?1)1+1M11 + a12(?1)1+2M12 + … + a1n (?1)1+nM1n n?1阶行列式 (Laplace Expansion of Determinants) P.-S. Laplace[法] (1749.3.23~1827.3.5) 则定义n阶行列式 第二章 矩阵与行列式 §2.2 行列式 注: 二阶行列式和三阶行列式的对角线法则: a11 a12 a21 a22 = a11a22 ? a12a21 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11