线性代数第三章第二节向量组的线性相关性.ppt
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第二节向量组的线性相关性(最大无关组与秩)
定义2.3最大线性无关向量组最大无关组最大无关组
事实上
重要结论
推论6
思考
证一
证二
注意
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线性代数第三章第二节向量组的线性相关性例题.ppt
四、小结 思考题 思考题解答 １．最大线性无关向量组的概念： 最大性、线性无关性． ２． 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩 ＝矩阵行向量组的秩 ３． 关于向量组秩的一些结论： 一个定理、三个推论． ４． 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 阵，然后进行初等行变换． 比较教材例7的证法一、二、三，并总 结这类题的证法． 证法一根据向量组等价的定义，寻找两向量 组相互线性表示的系数矩阵； 证法二利用“经初等列变换，矩阵的列向量 组等价，经初等行变换，矩阵的行向量组等价” 这一特性，验证是否
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(精)华中科技大学线性代数课件 第二节 向量的线性相关性.ppt
一、向量的线性相关性 1、基本概念 定义Ⅰ 给定向量 ，对于任何一组数 ,称向量 为向量组 的一个线性组合（Linear Combination）. 为组合的组合系数（Combination Coefficient）. 定义Ⅱ 设向量组 及向量β有关系 则β称为向量组的一个线性组合，或称β可由向量组Ａ 线性表示(线性表出)（Linear Expression）. 称为β在该线性组合下的组合系数. ① 若α＝kβ，则称向量α与β成比例． ② 零向量Ｏ是任一向量组的线性组合． ④ 任一n维向量 都是基本向量组 的一个线性组合． ⑤ 向量β可由 线性表示， 即方程组 事实上，有 ③ 向量组中每一向
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线性代数第三章 向量.doc
1. 设 , 则k = ______时, ?1, ?2, ?3, ?4线性相关.
解. 考察行列式
????????????????? = 13k +5 = 0. ?????
2. 设 , 则t = ______时, ?1, ?2, ?3, ?4线性相关.
解. 考察行列式
????????????????? .
所以对任何t, ?1, ?2, ?3, ?4线性相关.
3. 当k = ______时, 向量? = (1, k, 5)能由向量 线性表示.
解. 考察行列式
? 得k =－8. 当k =－8时, 三个向量的行列式为0, 于是 线性相关. 显然 线性无关, 所以 可用 线性表
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东北大学线性代数_第三章课后答案详解 向量组的线性相关性.doc
第三章 向量组的线性相关性
基本教学要求：
1. 理解n维向量的概念.
2. 理解向量的线性组合、线性相关和线性无关的概念.
3. 掌握向量的线性相关和线性无关的有关理论及判断方法.
4. 了解向量组的极大线性无关组与秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.
5. 理解矩阵的秩的概念，掌握求秩的方法.
一、向量及其运算
1. 向量的概念
有大小无方向的量，叫做数量或标量.既有大小又有方向的量则是向量，又称矢量，用有序数组表示：
或 .
前者称为n维列向量，后者称为n维行向量.列向量通常记作、或、或，对应的行向量则相应地记作、或、或.
如不特别说明，向量一般常指列向量.
以下
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线性代数第三章向量与向量空间.ppt
第三章向量与
向量空间
确定小鸟的飞行状态，需小鸟重心在空间的位置参数小鸟身体的水平转角θ
要以下若干个参数：
小鸟身体的仰角ψ鸟翼的转角ψ所以，为确定小鸟的飞行状态，
会产生一组有序数组
引入ｎ维向量（Vector）小鸟身体的质量ｍ
鸟翼的振动频率ｔ还有…
P(x,y,z)
mtxyz
ｎ个数组成的有序数组
a1,a2,,an
a1a2an
称为一个ｎ维向量，其中称为第个分量（坐标）.
aii
ｎ维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，
一般记作T,T,T.（RowVector）
如：T
a1a2an
ｎ维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，
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线性代数第三章向量与向量空间课件.ppt
定理 如果向量组 线性相关，则α可由Ａ唯一线性表示. 线性无关，而向量组 证 设 ∵Ａ线性无关， ∴ k≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾） ∴α可由Ａ线性表示. 下证唯一性： 两式相减有 ∵Ａ线性无关， 即表达式唯一. 即有 设 定理 设向量组 若Ａ线性相关,则向量组Ｂ也线性相关；反之，若 向量组Ｂ线性无关，则向量组Ａ也线性无关. 定理 设向量组 若Ａ线性无关，则向量组Ｂ也线性无关；反之，若 向量组Ｂ线性相关，则向量组Ａ也线性相关. 其中 注意：以上两个定理完全不同，千万不要混淆，第一个定理中是向量的个数变，在方程组中体现在未知数的个数变；第二个定理中是向量的维数变，在方程组中体现在方程的个数
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线性代数向量组的线性相关性——节.ppt
线性代数课件 线 性 代 数 第四章 向量组的线性相关性 一、向量、向量组与矩阵 二、线性相关性的概念 三、线性相关性的判定 四、小结 思考题 思考题解答 * * 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 例如 向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组． 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 定义１ 线性组合 向量 能 由向量组 线性表示． 定理1 定义２ 向量组 能由向量组 线性表示 向量组等价
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线性代数课件向量的线性相关性与向量空间.pptx
线性代数课件向量的线性相关性与向量空间
2024-01-24
向量及其基本性质
向量的线性组合与线性相关性
向量空间及其性质
线性变换及其矩阵表示
内积空间与正交性
应用举例与拓展
目录
向量及其基本性质
01
02
03
向量的长度，记作||v||，是非负的。
向量的模
单位向量
向量的方向
向量的夹角
模为1的向量，可通过原向量除以模得到。
由向量的非零分量决定，如二维向量(x,y)的方向角为arctan(y/x)。
两非零向量的夹角余弦值等于它们的点乘除以它们的模的乘积。
向量的线性组合与线性相关性
定义
设$V$是数域$P$上的一个线性空间，$alpha_1,alpha_2,ldots
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刘三阳线性代数第二版第三章习题答案.doc
第三章 习题解答
1. 用初等行变换将下列矩阵化为行阶梯型矩阵，并求其秩。
题型解析：该题考核是化行阶梯型矩阵的基本知识，即先从元素起，将其下方的所有元素化为0，再从起，将其下方的元素化为0，依此类推。另外，本题还考核的知识点是“行阶梯型矩阵中，非零行的个数即为该矩阵的秩，且初等行变换不改变矩阵的秩。”
已化到行阶矩阵。（检查两条件1.如有全零行在最下方，2.首非零元之前的0的个数逐行增加。）
3. 判断下列方程组是否有解？若有解求其通解。
题型解析：该题考核的是线性方程组的增广矩阵来求解，且其中涉及到矩阵的初等行变换【这
是非常重要的矩阵计算，一定要掌握】将矩阵化成行最简形，以及定理2.
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线性代数课件4-2向量组的线性相关性.ppt
***§2向量组的线性相关性目的要求（1）掌握向量组线性相关性的定义；（2）掌握判断向量组线性相关性的两种方法；（3）掌握向量组线性相关性的相关结论.§2向量组的线性相关性定义设有向量组添加标题则称向量组A是线性相关的.添加标题否则，称它是线性无关的.添加标题才能使(＊)式成立，添加标题也就是，只有当添加标题则称向量组A是线性无关的.添加标题如果存在不全为零的数添加标题说明：?01线性相关02?03线性相关04等价命题：05?06含零向量的向量组07对应分量成比例.08任一非零向量09线性无关.10必线性相关.11线性相关性的判定（定义法）线性相关判定向量组解齐次线性方程组若（1）有非零解若（
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线性代数课件3-2向量组的线性相关性.ppt
.,,,,,,,,321133322211321线性无关试证线性无关已知向量组bbbbbbaaaaaaaaa+=+=+=例7证证明充分性设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表出.即有三、线性相关性的判定定理1维向量组（）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表出．设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表出.故故线性相关.必要性设线性相关，则有不全为0的数使因这个数不全为0，因中至少有一个不为0，证毕.因中至少有一个不为0，不妨设则有即能由其余向量线性表出.一般地，判断线性相关的方法Ax=0的一组非零解.两个推论推论1.个维向量线性相关充要条件是，或其中。推论2当时，任何个
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线性代数第十讲_向量组及其线性相关性.ppt
例 (二)相关性的判定 （1）定义 （2）定理——判定定理 几种特殊的判定定理 （3）其它结论 例1 设 线性无关 证明 也是线性无关的。 例2 设 几种特殊的判定定理 （1）向量组含有零向量 例 思考题 特别地，对于方阵A 向量组 线性相关 * 一 相关性的定义 第十讲 向量组的线性相关性 相关性的判别｛ 判别定理 几个特殊定理 三 两个结论 使得 (一) 线性相关与线性无关的定义 设有向量组A: l 1，l2， ??? ，lm， 否则称它线性无关
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线性代数 第09讲-向量组的线性相关性.pdf
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线性代数课件4-1向量组的线性相关性.ppt
第四章向量组的线性相关性§1向量组及线性表示了解向量概念；理解向量的线性组合、线性表示概念；掌握向量加法、数乘运算法则；掌握线性方程组与线性表示的关系.目的要求一、n维向量的概念分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，默认为实向量定义：例如01n维实向量02n维复向量03第1个分量04第n个分量05第2个分量06维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：注意行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.d.四维以上向量集合，无具体几何意义.叫做维
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(精)免费第4章课件 线性代数 向量组的线性相关性.ppt
-*- 例2 设 , 是 的 两个不同的解向量, k 取任意实数, 则 Ax = 0 的通解是 -*- 例3 (P101例13) 设 ,证明 证 记 则由 说明 都是 的解 因此 移项 -*- 例4 (P101例15) 证明 设 , 首先证明 利用这一结论 注:第二个结论决不是同理可证! 证 -*- 例5 (P101 习题27) 设 A 为 n 阶方阵 , 证明 (1) (2) (