东北大学线性代数_第三章课后答案详解 向量组的线性相关性.doc

第三章 向量组的线性相关性 基本教学要求： 1. 理解n维向量的概念. 2. 理解向量的线性组合、线性相关和线性无关的概念. 3. 掌握向量的线性相关和线性无关的有关理论及判断方法. 4. 了解向量组的极大线性无关组与秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩. 5. 理解矩阵的秩的概念，掌握求秩的方法. 一、向量及其运算 1. 向量的概念 有大小无方向的量，叫做数量或标量.既有大小又有方向的量则是向量，又称矢量，用有序数组表示： 或 . 前者称为n维列向量，后者称为n维行向量.列向量通常记作、或、或，对应的行向量则相应地记作、或、或. 如不特别说明，向量一般常指列向量. 以下讨论主要针对实向量. 2. 向量的运算 因为向量是矩阵，所以它有许多与矩阵相同的运算及运算规律(P62)： (1)相等； (2)加法； (3)数乘； (4)转置， 但向量没有矩阵形式的“乘法”和“逆”，而有所谓的“向量的乘法”运算——内积. 向量的加法和数乘运算称为向量的线性运算. 例3.1(例3.1 P62) (5)内积(P63) 设向量，令 ， 称为与的内积. 例如， 内积的性质： ①(对称性)； ②，(线性性)； ③.当且仅当时，(正定性). 称为向量的长度(或范数)，记为(或). 当时，称为单位向量.如果，则是与同方向的单位向量. 对任意非零向量，称 ，() 为向量与的夹角. 如果，则称与正交. 3. 应用 (1)向量表示线性方程组(P65) 考虑线性方程组 (1) 若设，则(1)式可表示为 . (2) (2)向量表示矩阵(P64) 或 ， 与分别称为矩阵A的行向量组与列向量组. 二、向量组的线性相关性 1. 基本概念 由同维数的列向量(或行向量)组成的集合叫做向量组. 定义3.1 对向量和向量组，若存在一组数使 ， (3) 则称向量可由向量组线性表示，也称是向量组的一个线性组合. (P64) 例如：表明向量可由向量组线性表示. 例如：是向量组的一个线性组合，而是向量组的另一个线性组合. 根据定义3.1，方程组(2)有解可表述为向量可由向量组线性表示. 式(3)可以用分块矩阵的乘积形式表示为(P64) ；(当为列向量时) 或 . (当为行向量时) 定义3.2 对向量和向量组，若存在一组不全为零的数使 ， (4) 则称向量组线性相关；否则，称向量组线性无关.(P65) 定义3.2表明： 向量组线性相关，即齐次线性方程组有非零解. (P65) 向量组线性无关，即齐次线性方程组只有零解. (P65) 又根据Cramer法则，有 n个n维向量线性相关n个向量构成的矩阵的行列式为0. n个n维向量线性无关n个向量构成的矩阵的行列式不为0. 例如，表明向量组线性相关. ，即.由于只有零解，所以向量组线性无关. 定义3.3 一组两两正交的非零向量称为正交向量组.由单位向量构成的正交向量组称为规范正交向量组. (P66) 例如，n维标准单位向量组 e1=(1,0,…,0)T, e2=(0,1,…,0)T, … , en=(0,0,…,1)T 是一个规范正交向量组. 2. 有关结论(P66-68) (1)向量组线性相关中至少有一个向量可由其余向量线性表示. (定理3.3 P67) 向量组线性无关中任意一个向量不能由其余向量线性表示. (2)一个向量线性相关. (P66) 一个向量线性无关. (3)两个向量线性相关 (几何上，即共线或平行). (P66) 两个向量线性无关 (几何上，即不共线或不平行). (4)三个向量线性相关，即共面. (P66) 三个向量线性无关，即不共面. (5)正交向量组线性无关. (定理3.1 P66) 标准单位向量组是线性无关向量组. (6)若向量组有一个部分组线性相关，则该向量组线性相关.(部分相关，整体相关) (定理3.2 P67) 线性无关向量组的任一部分组线性无关.(整体无关，部分无关) (推论2 P67) 推论 含有零向量的向量组线性相关. (推论1 P67) (7)设向量组线性无关，线性相关，则可由向量组线性表示，且表示式唯一.(表示式中的系数称为关于向量组的坐标) (定理3.4 P67) (8)线性相关向量组的缩短向量组线性相关. 线性无关向量组的加长向量组线性无关. (定理3.5 P68) 证 设是一组m维向量，令 ， 即 (5) 不妨去掉最后一个方程(这对应