东北大学线性代数课件第1章行列式.doc

Linear Algebra -  PAGE 21 - 第一章 行列式 教学基本要求： 1. 了解行列式的定义. 2. 掌握行列式的性质和计算行列式的方法. 3. 会计算简单的n阶行列式. 4. 了解Cramer法则. 一、行列式的定义 1. 定义 称为n阶行列式，记作(或或)，它是n2个数的一个运算结果： 主对角线 ，(1.1) 其中，为行列式位于第行且第列的元素，，而为划掉行列式第1行和第列的全部元素后余下的元素组成的阶行列式，即 称为元素的余子式，称为元素的代数余子式. 2. 基本行列式： (1)一阶行列式 . 例如，， . (2)二阶行列式 . (3)三阶行列式 . (4)三角形行列式 ①对角行列式 . ②下三角行列式 . ③上三角行列式 . ④. ⑤. ⑥. 注意：④、⑤和⑥的结果中均有符号. 3. 行列式的性质 ， 性质1.1 . (1.2) 性质1.1的意义：行列式的行所具有的性质列也具有. 下面仅针对行叙述行列式的性质. 性质1.2(行列式的展开性质) , . (1.3) 例如，行列式 . 一个阶行列式有 个余子式，有 个代数余子式； 一个元素的余子式与代数余子式或 或 . 应该注意到，一个元素的余子式或代数余子式与该元素的 有关，与该元素的 无关. 性质1.3(行列式的公因子性质) . (1.4) 性质1.3还可以这样表述：用数乘以行列式某一行的每一个元素，等于用数乘以行列式. 例如，. . 推论 行列式的一行元素全为零，行列式为零. 性质1.4(行列式的拆分性质) (1.5) 性质1.4可以推广到一行有更多个数相加的情形. 性质1.5 行列式两行元素对应全相等，行列式为零. 推论1 行列式两行元素对应成比例，行列式为零. 推论2 设行列式，则 . (1.6) 这里，为Kronecker符号. 性质1.6(行列式的不变性质) . (1.7) 性质1.6的意义：任何一个行列式都可化为三角形行列式，从而算出值. 性质1.7(行列式的变号性质) . (1.8) 总结：利用性质1.6及其它性质与推论，可以更容易地将一个行列式化为“三角形”行列式.步骤如下： . 例如，. 在实际计算中，往往是“化零”与“展开”结合着进行，需要根据行列式的特点灵活地运用行列式的性质． 二、行列式的计算 行列式的计算过程，大多可以通过如下符号指示： 交换i, j两行(列)：（）； 第i行(列)提取公因子k：（）； 第j行(列)的k倍加到第i行(列)：（）. 例1.1 计算行列式. 解 . 或 . 例1.2 计算行列式. 解 . 或 . 或 . 例1.3 计算行列式. 解 . 例1.4 计算阶行列式 解 例1.5(例1.10 P16) 计算阶行列式. 解 分析：注意到该行列式的特点是，主对角线上的元素是同一个值，主对角线之外的元素都相同，那么运用 ，有 (这时行列式 ，继续) (这时行列式 ，继续) ． 例1.6(例1.11 P16) 设行列式的阶数为奇数，且，求D． 解 分析：条件表明， (称为反对称行列式) (每行提取公因子-1，然后做转置运算，有) 从而D=0． 例1.7(例1.12 P17)　计算n阶行列式 . (三对角行列式) 解 分析：该行列式对角线上的元素全为２，次对角线上的元素全是１，其余元素都是0．由于0元素比较多，所以利用展开性质(也说降阶法)来计算. 将Dn按第１行展开，有 . 注意到，如果再将按第１列展开，即有．于是得到一个递推公式 . 现在考虑数列，由可知，数列是一个等差数列，公差为，首项，从而第项． 降阶法是求三对角行列式的常用方法，但不是唯一的方法. 另解， . 三对角行列式的一般形式为 . (1.9) 例1.8(例1.13 P17) Vandermonde行列式 . (1.10) 记住Vandermonde行列式的特点、结果，了解证明方法. 三、行列式应用 1. 求解特殊的线性方程组 考虑元线性方程组 (1.11) 记 ，， ，，. 定理(Cramer法则) 若线性方程组(1.11)的系数行列式，则该方程组有惟一解： （）． (1.12) 例1.9(例1.14 P20) 解线性方程组 解 该方程组的系数行列式D及D1、D2和D3分别为 ，， ，. 由于，故方程组有唯一解： ，，． 对于齐