线性代数向量组的线性相关性——节.ppt

线性代数课件 线　性　代　数 第四章　向量组的线性相关性 一、向量、向量组与矩阵 二、线性相关性的概念 三、线性相关性的判定 四、小结 思考题 思考题解答 * * 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 例如 向量组 , , …， 　称为矩阵A的行向量组． 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 定义１ 线性组合 　　　　　　　　　　　　　　　　 向量 能 由向量组 线性表示． 定理1 定义２ 向量组 能由向量组 线性表示 向量组等价． 从而 注意 定义３ 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关． 定理　向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示． 证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示. 即有 故 因 这 个数不全为0， 故 线性相关. 必要性 设 线性相关， 则有不全为0的数　　　　　　使 因 中至少有一个不为0， 不妨设　　　则有 即 能由其余向量线性表示. 证毕. 线性相关性在线性方程组中的应用 结论 定理2 下面举例说明定理的应用. 证明　（略） 解 例１ 解 例２ 分析 证 定理3