(精)《线性代数》电子教程之十(向量组的线性相关性).ppt

主要内容 一、 维向量 二、向量组 三、向量组的线性组合 四、线性表示的概念 五、线性表示与方程的联系 六、线性表示的判定 一、线性相关与线性无关的概念 三、线性相关与线性无关的判定 四、向量组线性相关性的其它重要结论 * * 《线 性 代 数》 电子教案之十 第十讲 向量组的线性关系 维向量、向量组的概念 线性组合与线性表示； 线性相关与线性无关； 向量组线性相关性的重要结论. 基本要求 理解向量组的线性组合的概念，理解一个向量能 由一个向量组线性表示的概念并熟悉这一概念与 线性方程组的联系； 理解 维向量的概念，理解向量组的概念及向量 组与矩阵的对应； 理解向量组能由向量组线性表示的概念及其矩 阵表示式，知道这一概念与矩阵方程的联系. 知道两个向量组等价的概念； 理解向量组线性相关、线性无关的概念，并熟 悉这一概念与齐次线性方程组的联系. 第一节 向量组及其线性组合 定义 个有次序的数 所组成的数组称为 维向量， 这 个数称为该向量的 个 分量，第 个数 称为第 个分量. 说明 向量分为实向量和复向量，分量全为实数的向量 称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 个数组成的有序数组可以写一行，也可以写成 一列，写成一行称为行向量，写成一列称为列向 量，也就是行矩阵和列矩阵. 规定行向量和列向量 都按矩阵的运算规则进行运算. 列向量常用小写黑体字母 表示，或用 希腊字母 表示. 行向量则用列向量 的转置表示. 1.定义 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组. 定义 给定向量组 ，对于任何一组 实数 ，表达式 称为向量组 的一个线性组合， 称为这 个线性组合的系数. 说明 向量组的线性组合就是向量的线性运算的表达式. 线性组合的系数可以是任意实数. 定义 给定向量组 和向量 ，如果存在一组数 ，使得 即 是向量组 的线性组合，则称向量 能由向量 组 线性表示. 根据以上说明，线性表示与方程的联系为： 向量 能由向量组 线性表示 线性方程 有解. 定理1 向量 能由向量组 线性表示 的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩. 根据线性表示与方程的联系和方程组的理论，得 （上章定理5） 例1 设 证明向量 能由向量组 线性表示，并求 出表示式. 解 析：此题的目的是运用定理1证明向量能否由一 个向量组线性表示，另外，此题涉及线性表示式的求法. 由定义知，向量 能由向量组 线性表示 方程 有解，即 有解， 这表明 由向量组 线性表示的表示式与方程 的解是一一对应的. 例题讲解 记 可见 因此，向量 能由向量组 线性表示. 例题讲解 由上述行最简形，可得方程 的通解为 因而，所求的表示式为 例题讲解 第二节 向量组的线性相关性 定义 给定向量组 ，如果存在不全 为零的数 ，使 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关. 说明 说向量组 线性相关，通常是指 的情形，但上述定义也适用 的情形： 当 时，向量组只含一个向量. 向量组 ，当 时是线性相关的，当 时是线性无关的. 二、线性