线性代数（第5版)课件：线性相关性.ppt

机动目录上页下页返回结束线性代数n维向量概念与运算线性表示(线性组合)线性相关与线性无关关于线性相关性的几个定理向量组的线性相关性一、n维向量概念1.定义n维行向量(1×n矩阵)——m维列向量(m×1矩阵)矩阵每一行都是n维行向量每一列都是m维列向量n个数组成的有序数组称为n维向量.用等表示。①向量的相等②零向量：③负向量：O＝(0,0,…,0)④向量的几何意义2.向量的线性运算①加减②数乘向量的线性运算满足如下8条运算律：(也看作特殊的矩阵作运算!)线性空间的八条公理例1已知求例2(05考研)设均为3维列向量,记3阶矩阵且，求＝2解：思考：分块矩阵法语数英物化李群尚环左模教师：成绩评定C=30﹪×A+70﹪×B画家：色彩处理三基色原理红色+绿色+蓝色=白色红色+绿色=黄色期中期末二、线性表示(线性组合)1.概念的建构给定一组向量,若存在一组数k1,k2,…,ks,使,则称向量可由向量组线性表示，也称向量是向量组的线性组合。例3设,则253定义253向量的线性表示xyz2(1,0,0)5(0,1,0)2(1,0,0)+5(0,1,0)3(0,0,1)(2,5,3)几何解释矩阵的乘法与线性方程组记从而得：线性方程组的矩阵形式——AX＝B向量的线性运算：线性方程组的系数列向量与常数列向量间的关系x1+x2+…+xn＝线性方程组有解即常数向量可表示成系数列向量组的线性关系式。x1+x2+…+xn＝线性方程组的系数列向量与常数列向量间的关系:也称是的线性组合。——称向量可由向量组线性表示;线性方程组的向量形式若存在一组数，k1,k2,…,ks,使则称向量可由向量组线性表示，也称向量是向量组的线性组合。一般地,任一n维向量都可由Rn的基本单位向量组线性表示为:2(-3)4例4零向量是任一组同维向量的线性组合：例5向量组中任一向量都可由该向量组线性表示：可由线性表示线性方程组有解.2.结论00000100例6.已知可否由线性表示,若可以,写出表示式.先考虑可由线性表示线性方程组有解.结论:解:①2k1－k2＝3k1＋2k2＝4－k1＋k2＝－15k1＋k2＝11亦即即设可省步骤②设∴原方程组无解则不可由线性表示r(A)≠r(A)②重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.不可由线性表示由此及例1的一般结论，可不经过方程组这一中间步骤直接理解例4解题过程。(第三分量无线性关系:1≠k1·0＋k2·0)小结：可否由线性表示——竖排行变换，放末列.例7(00考研)设向量组（1）可由线性表示，且表示唯一；试问a、b、c满足什么条件时（2）不能由线性表示；（3）可由线性表示，但表示不唯一？并求出一般表达式.(1)a≠-4时，D≠0，方程组有唯一解解:设,则该方程组的系数行列式＝-(a＋4)可由线性表示,且表示唯一.即:a≠-4时(2)a＝－4时，对增广矩阵作初等行变换，有x3=2b＋1x2＝－b－1－2x1由