线性代数第三章 向量.doc

1. 设 , 则k = ______时, ?1, ?2, ?3, ?4线性相关. 解. 考察行列式 ????????????????? = 13k +5 = 0. ????? 2. 设 , 则t = ______时, ?1, ?2, ?3, ?4线性相关. 解. 考察行列式 ????????????????? . 所以对任何t, ?1, ?2, ?3, ?4线性相关. 3. 当k = ______时, 向量? = (1, k, 5)能由向量 线性表示. 解. 考察行列式 ? 得k =－8. 当k =－8时, 三个向量的行列式为0, 于是 线性相关. 显然 线性无关, 所以 可用 线性表示. 4. 已知 , 则秩(?1, ?2, ?3, ?4) = ______. 解. 将?1, ?2, ?3, ?4表示成矩阵 ???? ???? .?? 所以?? r (?1, ?2, ?3, ?4) = 3 5. 设 , 则秩(A) = ______. 解. ??????? 所以?? r (A) = 3. 6. 已知 矩阵A = ?·?, 则秩(A) = ______. 解. A = ?·? = ? 所以?? r (A) = 1. 7. 已知向量 , 且秩(?1, ?2, ?3, ?4) = 2, 则t = ______. 解. A = (?1, ?2, ?3, ?4) 所以当t = 7时, r (A) = 2. 2.单项选择题 1. 设向量组?1, ?2, ?3线性无关, 则下列向量组线性相关的是 (A) ?1 + ?2, ?2 + ?3, ?3 + ?1???????? (B) ?1, ?1 + ?2, ?1+ ?2 + ?3 (C) ?1－?2, ?2－?3, ?3－?1????????? (D) ?1 + ?2, 2?2 + ?3, 3?3 + ?1 解. 由? 得???? 因为向量组?1, ?2, ?3线性无关, 所以得关于 的方程组 ????????????? 的系数行列式为???? . 所以 有非零解, 所以?1－?2, ?2－?3, ?3－?1线性相关. (C)是答案. 2. 设矩阵Am×n的秩为R(A) = m n, Em为m阶单位矩阵, 下列结论正确的是 (A) A的任意m个列向量必线性无关?? (B) A的任意一个m阶子式不等于零 (C) 若矩阵B满足BA = 0, 则B = 0??? (D) A通过行初等变换, 必可以化为(Em, 0)的形式 解. (A), (B)都错在“任意”; (D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A变成(Em, 0)的形式; (C)是正确答案. 理由如下: 因为 BA = 0, 所以? 0 . 所以 = 0. 于是B = 0. 3. 设向量组 (I): ;设向量组 (II): , 则 (A) (I)相关?(II)相关??????????????? (B) (I)无关?(II)无关 (C) (II)无关?(I)无关??????????????? (B) (I)无关? (II)无关 解. 由定理: 若原向量组线性无关, 则由原向量组加长后的向量组也线性无关. 所以(B)是答案. 4. 设?, ?1, ?2线性相关, ?, ?2, ?3线性无关, 则 (A) ?1, ?2, ?3线性相关?????????????? (B) ?1, ?2, ?3线性无关 (C) ?1可用?, ?2, ?3线性表示????????? (D) ?可用?1, ?2 线性表示 解. 因为?, ?1, ?2线性相关, 所以?, ?1, ?2, ?3线性相关. 又因为?, ?2, ?3线性无关, 所以?1可用?, ?2, ?3线性表示. (C)是答案. 5. 设A, B是n阶方阵, 且秩(A) = 秩(B), 则 (A) 秩(A－B) = 0??????????????????? (B) 秩(A + B) = 2秩(A)?? (C) 秩(A－B) = 2秩(A)?????????????? (D) 秩(A + B) ?秩(A) + 秩(B) 解. (A) 取 且|A| ? 0, |B| ? 0则A－B ? 0, 则r(A－B) ? 0. 排除(A); (B) 取A =－B ? 0, 则秩(A + B) ? 2秩(A); (C) 取A = B ? 0, 则秩(A－B) ? 2秩(A). 有如下定理: 秩(A + B) ?秩(A) + 秩(B). 所以(D)是答案. 3.计算证明题 1. 设有三维向量 , , , 问k取何值时 i. ?可由?1, ?2, ?3线性表示, 且表达式唯一; ii. ?可由?1, ?2, ?3线性表示, 但表达式不唯一; iii. ?不能由?1, ?2, ?3线性表示