线性代数第三章.ppt

(2) 代入(2)式可得 (3) 比较(1), (3), 同一向量在同一组基下坐标唯一. 故有 而 A–1 存在. 于是有 我们把公式(4)和(5) 称为坐标变换公式. X = AY (4) Y = A–1X (5) 完 提示:由Y = A–1X 例5 设 在基 下的坐标为 求过渡矩阵A,并求 解: 得过渡矩阵 求得 由坐标变换公式得 完 exe1 完 过渡矩阵。 exe2 设 是 的一组基，已知 （1）证明 和 都是 基 （2）求由基 到 的过渡矩阵 （3）求由基 到 的坐标变换公式 参考答案： Exe1： Exe2： 完 ◆ ◆ 学习要求 学习要求:对于概念和理论方面,从高到低分别用“理解”,“了解”,“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面,从高到低分别用“熟练掌握”,“掌握”,“能/会”三级来表述. 知道 n 维向量空间的基底、维数、坐标等概念, 基变换和坐标变换. 会 求基底的过渡矩阵和向量在基底下的坐标 向量的长度与向量间的夹角 例2 标准正交基 结束 向量内积 学习要求 例1 例3 例4 第四节 欧氏空间 完 ◆ ◆ 学习要求 学习要求:对于概念和理论方面,从高到低分别用“理解”,“了解”,“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面,从高到低分别用“熟练掌握”,“掌握”,“能/会”三级来表述. 了解向量内积、标准正交基的概念 会用线性无关向量组正交规范化的施密特 (Schmidt)方法 一、向量的内积 定义1 设 n 维向量 ?=(x1, x2 …, xn), ?=(y1, y2…, yn). 定义数：x1 y1+x2 y2+…+ xn yn 为向量 ? 与 ? 的内积，记为 (? , ? ). 即(? , ? ) = x1 y1+x2 y2+…+xn yn. 注:定义了内积的 n 维向量空间Rn称为 n 维 欧氏空间(Euclid Space)，仍记为 Rn. 内积的性质 (1)对称性 (?,?)=(?,?); 　(2)双线性性 　 (??+??,?)=?(?,?)??(?,?); ?、??R (3)非负性　(?,?)?0, 且(?,?)=0　　 ?=0. (? ,k?+l?)=k(?,?)?l(?,?); k,l?R 定义2　设 n 维向量?=(a1,a2,…,an).称 为向量? 的模(或长度). 特别：||? || = 1的向量 ? 称为单位向量， 为一单位向量称为? 的单位化. 当? ? 0时， 二、向量的长度与夹角 ??,?,??Rn,??R,则 (2)　正齐次性　　||??||=|?|·||?||; (3)　三角不等式　||???||?||?||?||?||. 长度的性质: (1)　非负性　||?||? 0,若||?||=0　　 ? = 0; 定理 1 (Cauchy-Schwarz不等式) 向量? 和 ? 线性相关. 重要不等式 定义 3 记为??? . 设?,?为Rn中两个向量，定义?与?的夹角为 当(?,?)=0时，称?与? 垂直(正交)， 特别: 已知?=(1,2,2,3),?=(3,5,1,1),求?与?的长度及它们的夹角?,?. 解： 而 (?, ? )=18 故 例1 完 定理2 (勾股定理) 设?1,?2,…,?k为欧氏空间Rn中两两正交的向量，即(?i ,?j )=0,i?j，则 ||?1+?2+…+?k||2=||?1||2+||?2||2+…+||?k||2 证: =||?1||2+||?2||2+…+||?k||2 ||?1+?2+…+?k||2 = (?1+?2+…+?k ,?1+?2+…+?k) 正交向量组 定义4 若(α,β)=0，则称与α与β是正交的，记作 α ?β. 注：零向量与任何向量正交. 定义5 在欧氏空间中，一组两两正交的向量组称为正交向量组. 三、标准正交基 定理4 非零的正交向量组是线性无关的. 证： 设?1,?2,…,?m是一组非零正交组，并设 k1?1+ k2?2 +…+km?m= 0 用? 1 与等式两边作内积，得 0=(0,?1)=k1(?1,?1)+k2(?2,?1)+…+ki(?i,?1)+…+km(?m,?1) 类似地： 用?i