(精)华中科技大学线性代数课件 第二节 向量的线性相关性.ppt

一、向量的线性相关性 1、基本概念 定义Ⅰ　给定向量 ，对于任何一组数 ,称向量 为向量组 的一个线性组合（Linear Combination）. 为组合的组合系数（Combination Coefficient）. 定义Ⅱ　设向量组 及向量β有关系 则β称为向量组的一个线性组合，或称β可由向量组Ａ 线性表示(线性表出)（Linear Expression）. 称为β在该线性组合下的组合系数. ①　若α＝kβ，则称向量α与β成比例． ②　零向量Ｏ是任一向量组的线性组合． ④　任一n维向量 都是基本向量组 的一个线性组合． ⑤　向量β可由 线性表示， 即方程组 事实上，有 ③　向量组中每一向量都可由该向量组线性表示． 有解. 定义Ⅲ　设n维向量组 为零的数 ，使得 则称向量组 ,如果存在不全 线性相关（Linear Dependent）. 反之，若当且仅当 ，才有 则称向量组 线性无关（Linear Independent）. ②　单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量． ③　单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量． ④　一向量组中存在一个Ｏ向量，则一定线性相关． ①　对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关． ⑤　一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组都线性无关． ⑧　几何上：两向量线性相关?两向量共线； ⑥　两向量线性相关?两向量对应成比例 三向量线性相关?三向量共面. ⑦　两向量线性无关?两向量不对应成比例 注意：向量组 线性相关性完全由 方程组 的解决定. 二、线性相关性的判断准则 定理　向量组线性无关?齐次线性方程组只有零解； 定理　向量组线性相关?齐次线性方程组有非零解. 推论　 n个n维向量线性相关?　　　. 推论　n个n维向量线性无关?　　　. 向量组线性无关?任何一个向量都不能由其向量线性表示． 定理 向量组线性相关?至少有一个向量可由其余向量线性表示． 定理 证 ∵Ａ线性相关， 得证 至少有一个系数不为零，不妨设 定理 如果向量组 线性相关，则α可由Ａ唯一线性表示. 线性无关，而向量组 证 设 ∵Ａ线性无关，而向量组B线性相关， ∴k≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾） ∴α可由Ａ线性表示. 下证唯一性： 两式相减有 ∵Ａ线性无关， 即表达式唯一. 即有 设 定理 设向量组 若Ａ线性相关,则向量组B也线性相关；反之，若 向量组B线性无关，则向量组Ａ也线性无关. 定理 设向量组 若Ａ线性无关，则向量组B也线性无关；反之，若 向量组B线性相关，则向量组Ａ也线性相关. 其中 　　注意：以上两个定理完全不同，千万不要混淆，第一个定理中是向量的个数变，在方程组中体现在未知数的个数变；第二个定理中是向量的维数变，在方程组中体现在方程的个数变. 1、设向量组 线性相关，则　　 　　. 2、设向量组 线性无关，则 必满足 　 . 三、应用举例 则（ ） A、　必可由　　　　线性表示； B、　必可由　　　　线性表示； C、　必可由　　　　线性表示； D、　必不可由　　　　线性表示. 3、若向量组 线性无关， 线性相关，