华中科技大学线性代数.ppt

小结单击此处添加标题正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．单击此处添加标题正定二次型（正定矩阵）的判别方法：定义法；顺次主子式判别法；单击此处添加标题根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导．特征值判别法.单击此处添加标题测试题01填空题(每小题4分，共32分)．一、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．第三节正定二次型与正定矩阵下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质．称为且标准形中正系数个数负惯性指数，二、正(负)定二次型的概念为正定二次型为负定二次型例如为不定二次型三、正(负)定二次型的判别证明充分性：故必要性：推论对称矩阵为负定的充分必要条件是：的特征值全为负．推论对称矩阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正．故充分性必要性若A为正定矩阵，则A的特征值全大于零且存在正交矩阵C，使得对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即定理4对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式为正，即这个定理称为霍尔维茨定理．二次型正定的充要条件正惯性指数为n；A的特征值全部大于零；n元实二次型正定(或n阶实对称阵A正定)的充要条件是下列条件之一：01A的各阶主子式为正.二次型正定的必要条件02A与I合同；例1例2判别二次型是否正定.添加标题1解添加标题2二次型的矩阵为添加标题3用特征值判别法.添加标题4故此二次型为正定二次型.添加标题5即知A是正定矩阵，添加标题6例3判别二次型故上述二次型是正定的.解它的顺序主子式是否正定.例4判别二次型的正定性.解例5（矩阵正定的必要条件）正定矩阵具有以下一些简单性质故均为正定阵。证明均为正定阵。已知A、B为正定阵，M为可逆阵，例6首先均为对称阵。证对于任意的有且即A对称且A与I合同，故A为正定矩阵。若存在可逆对称矩阵B，使得使得证明A为正定矩阵的充要条件是存在可逆对称矩阵B，例7充分性证则必要性若A为正定矩阵，则A的特征值全大于零且存在其中，正交矩阵C，使得满足且