2024年新教材高中数学第八章立体几何初步3.2圆柱圆锥圆台球的表面积和体积学案新人教A版必修第二册.doc

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圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

渔业生产中用的某种浮标是一个半球，其直径为0.2米．

【问题1】半球的体积如何计算？

【问题2】半球的表面积如何计算？

【问题3】假如在浮标的表面涂一层防水漆，每平方米须要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆须要涂料多少kg?

1．圆柱、圆锥、圆台的表面积

圆柱

圆锥

圆台

侧面绽开

侧面积

2πrl

πrl

πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r′＋r))l

表面积

2πr

πr

π

圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？

提示：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：

2．圆柱、圆锥、圆台的体积

(1)圆柱：V＝πr2h(r是底面半径，h是高)；

(2)圆锥：V＝eq\f(1,3)πr2h(r是底面半径，h是高)；

(3)圆台：V＝eq\f(1,3)πheq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r′2＋r′r＋r2))(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)

圆柱、圆锥、圆台体积公式之间有什么关系？

提示：

3．球的表面积与体积

球的表面积：S球＝4πR2，

球的体积：V球＝eq\f(4,3)πR3．(其中R为球的半径)

1．等底等高的圆柱与圆锥体积之间是什么关系？

2．球的表面积与过球心的截面圆的面积什么关系？

3．球的体积V与球的表面积S之间有什么关系？

提示：1.圆柱的体积是圆锥体积的3倍；

2．球的表面积是过球心的截面圆面积的4倍；

3．V＝eq\f(R,3)S.

视察教材图8.3－4，若半圆的半径为r，圆柱的母线长为l，则浮标的体积是多少？

提示：eq\f(4,3)πr3＋πr2l.

1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()

A．1∶2B．1∶eq\r(3)C．1∶eq\r(5)D．eq\r(3)∶2

【解析】选C.设圆锥的高为a，则底面半径为eq\f(a,2)，

则S底＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(πa2,4)，S侧＝π·eq\f(a,2)·eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2))

＝eq\f(\r(5),4)πa2，所以eq\f(S底,S侧)＝eq\f(1,\r(5)).

2．直径为6的球的表面积和体积分别是()

A．36π，144πB．36π，36π

C．144π，36πD．144π，144π

【解析】选B.由题意知，球的半径r＝3.

则S球＝4πr2＝4π×32＝36π，V球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×33＝36π.

基础类型一圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积(数学运算)

1．(2024·湛江高一检测)已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是()

A．64πB．48πC．32πD．16π

【解析】选C.因为圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，故圆锥的底面半径为4，底面周长为8π，

故圆锥的侧面积是eq\f(1,2)·8π·8＝32π.

2．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是()

A．eq\f(2\r(3),3)πB．2eq\r(3)πC．eq\f(7\r(3),6)πD．eq\f(7\r(3),3)π

【解析】选D.S1＝π，S2＝4π，所以r＝1，R＝2，

S侧＝6π＝π(r＋R)l，所以l＝2，所以h＝eq\r(3).

所以V＝eq\f(1,3)π×(1＋4＋2)×eq\r(3)＝eq\f(7,3)eq\r(3)π.

3．已知一个圆柱的表面积等于侧面积的eq\f(3,2)，且其轴截面的周长为16，则该圆柱的体积为()

A．8πB．16πC．27πD．36π

【解析】选B.设圆柱的底面半径为r，母线长为l，

则，解得.

所以该圆柱的体积为V＝π×22×4＝16π.

关于圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积

(1)首先要明确各个旋转体的基本量：底面半径、母线长、高，有时须要列方程(组)求出这些基本量；

(2)涉及表面积和体积关系的问题，可以转化为基本量之间的关系求解．

基础类型二球的表面积和体积(数学运算)

【典例】1.两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为()

A．2∶3 B．