2024年新教材高中数学第八章立体几何初步3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积练习含解析新人教A版必修第二册.doc

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棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

【基础全面练】(25分钟50分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．已知高为3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥B-AB1

A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),6)D．eq\f(\r(3),4)

【解析】选D.＝＝eq\f(1,3)S△ABCh

＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(3),4).

【加固训练】

把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体则全部小正方体的表面积为________．

【解析】原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为eq\f(1,3)a，每个小正方体的表面积S1＝eq\f(1,9)a2×6＝eq\f(2,3)a2，所以27个小正方体的表面积是eq\f(2,3)a2×27＝18a2.

答案：18a2

2．如图，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是()

A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)

【解析】选C.因为VC-A′B′C′＝eq\f(1,3)V柱＝eq\f(1,3)，

所以VC-AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).

3．正方体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A，C，B1，D1为顶点的正三棱锥的表面积为4eq\r(3)，则该正方体的棱长为()

A．eq\r(2)B．2C．4D．2eq\r(2)

【解析】选A.设正方体棱长为a，侧面的对角线长为eq\r(2)a，

所以正三棱锥A-CB1D1的棱长为eq\r(2)a，其表面积为4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝4eq\r(3)，可得a2＝2，即a＝eq\r(2).

4．三棱台ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1-ABC，B-A1B1C，C-A1B1

A．1∶1∶1B．1∶1∶2

C．1∶2∶4D．1∶4∶4

【解析】选C.如图，设棱台的高为h，

S△ABC＝S，则＝4S.

所以＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，

＝eq\f(1,3)·h＝eq\f(4,3)Sh.

又＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，

所以＝－－

＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh.

所以体积比为1∶2∶4.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2024·新乡高一检测)如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为________．

【解析】设正四棱柱的底面边长为m，则4(42－m2)＝60，解得m＝1，

所以该几何体的表面积为：42×4＋(42－12)×2＋4×1×4＝110.

答案：110

6．已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，则这个长方体的体积为________．

【解析】设长方体从一点动身的三条棱长分别为a，b，c，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝eq\r(6).

答案：eq\r(6)

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm，侧面面积为780cm2，求其体积．

【解析】正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10cm，AB＝20cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高．

设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形．

因为S侧＝4×eq\f(1,2)×(10＋20)×EE1＝780(cm2)，

所以EE1＝13cm.

在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝5cm，OE＝eq\f(1,2)AB＝10cm，

所以O1O＝eq\r(132－（10－5）2)＝12(cm).

所以该正四棱台的体积为V＝eq\f(1,3)×12×(102＋202＋10×20)＝280