20192020学年高中数学第八章立体几何初步831棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积新人教A版必修第二册.docx
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8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一、选择题
已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( )A．48(3＋ 3) B．48(3＋2 3)
C．24( 6＋ 2) D．144
解析：由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2×
3
4×42×6＝48 3，所
以表面积S＝48(3＋ 3)．答案：A
正方体ABCD－ABCD
中，以顶点A、C、B、D
为顶点的正三棱锥的全面积为4 3，
1111 1 1
则该正方体的棱长为( )
A. 2 B．2
C．4 D．2 2
解析：设正方体棱长为a，侧面的对角线长为 2a，所以正三棱锥A－CBD
的棱长为 2a，
11
3
其表面积为4×
4×( 2a)2＝4 3，可得a2＝2，即a＝ 2.
答案：A
棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )
a3
A.3
a3
C.6
a3
B.4
a3
D.
12
解析：棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体实际上是两个底面相等的正四棱锥，四棱锥的底面是正方形面积的一半，高为正方体高的一半，故八面
1 1 a a 1 a a3
体的体积为2××××××＝ ，故选C.
3 2 2 6
答案：C4．某几何体的直观图及其相应的度量信息如图所示，则该几何体的表面积为( )
2A．20＋4 B．24
2
C．24＋4 2 D．28
解析：由直观图可知，该几何体的上部为一正四棱锥，下部为一正方体，正方体的棱长为2，正四棱锥的底面为正方形，其边长为2，正四棱锥的高为1，所以此几何体的表面积为
1
5×2×2＋4××2× 2＝20＋4 2.
2
答案：A
二、填空题
5．若正四棱锥的底面边长为2 2cm，体积为8cm3，则它的侧面面积为 ．解析：∵该正四棱锥底面边长为2 2cm，体积为8cm3，∴该四棱锥的高为3cm，∴侧
1
面等腰三角形的高为 32＋ 2 2＝ 11(cm)，S＝4××2 2× 11＝4 22(cm2)．
侧 2
答案：4 22cm2
6.
如图所示的三棱锥，则该三棱锥的体积是 ．
?3解析：由题图知，底面三角形是腰长为2，底边长为2 3的等腰三角形，三棱锥的高为
?
3
?V1 ?1
?V
321，故该三棱锥的体积＝×?
3
2
×2 3× 22－
3 2??×1＝ .
33
3
答案：3
7.
如图，在正三棱柱ABC－ABC中，D为棱AA的中点，若截面△BCD是面积为6的直角
111 1 1
三角形，则此三棱柱的体积为 ．
? 1 ?
解析：设AC＝a，CC＝b，则?a2＋b2?×2＝a2＋b2，解得b2＝2a2，又截面△BCD是面积
1 ? 4 ? 1
1 3 1 3 3
为6的直角三角形，则×a2＝6，∴a2＝8，故此三棱柱的体积为a2× ×b＝ ×8×4＝8 3.
2 2 2 2 4
答案：8 3三、解答题
已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC如图所示，求它的表面积．解析：
因为四面体S－ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．
不妨求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图所示．
因为BC＝SB＝a，SD＝ SB2－BD2＝
a2－
a
22＝
3a，2
所以S
SB＝C
1 1 3 3
BC·SD＝a× a＝ a2.
△ 2 2 2 4
故四面体S－ABC的表面积S＝4×
3a2＝ 3a2.
4
正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm，侧面面积为780cm2，求其体积．
解析：正四棱台的大致图形如图所示，其中AB＝10 cm，AB＝20cm，取AB的中点
11 11
E，AB的中点E，则EE为斜高．设O，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOOE为直角
1 1 1 11
梯形．
1
∵S＝4××(10＋20)×EE＝780(cm2)，∴EE＝13cm.
侧 2 1 1
在直角梯形EOOE中，
11
OE 1 1
＝AB＝5cm，OE＝AB＝10cm，
11 211 2
∴OO＝ 132－ 10－5
1
2＝12(cm)．
1
∴该正四棱台的体积为V＝×12×(102＋202＋10×