第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系.docx
第二节空间点、直线、平面之间的位置关系
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2.了解四个基本事实和定理，了解空间两条直线位置关系的判定.
1.直线m与平面α平行，且直线a?α，则直线m和直线a的位置关系不可能为（）
A.平行 B.异面
C.相交 D.没有公共点
解析：C直线m与平面α平行，且直线a?α，则直线m和直线a的位置关系可能平行，可能异面，即没有公共点，但不可能相交，故选C.
2.如果直线a?平面α，直线b?平面β，且α∥β，则a与b（）
A.共面
B.平行
C.是异面直线
D.可能平行，也可能是异面直线
解析：Dα∥β，说明a与b无公共点，∴a与b可能平行也可能是异面直线.
3.如图所示的是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，线段AB与CD所在直线的位置关系为（）
A.相交 B.平行
C.异面 D.无法判断
解析：C由题意，将正方体展开图还原为正方体，如图所示，在正方体中找到对应的AB、CD两条直线，由图可知，AB与CD异面.故选C.
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝AD＝12AA1，E是棱DD1的中点，则直线A1C1与AE所成的角的大小为
答案：π
解析：如图，连接AC，EC，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，显然A1C1∥AC，则∠EAC为直线A1C1与AE所成的角，由E为DD1的中点，且AD＝12AA1，则DE＝AD＝DC，即AC＝AE＝CE，故△ACE为等边三角形，则∠EAC＝π
唯一性定理
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
（3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
（4）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
（多选）（2024·苏州第一次模拟）下列命题正确的是（）
A.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直
B.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行
C.过平面外一点有无数条直线与已知平面平行
D.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直
解析：AC由结论可得A、C正确.
平面基本事实的应用
1.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，则平面ABC与平面β的交线是（）
A.直线AC B.直线AB
C.直线CD D.直线BC
解析：C由题意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.
2.在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则点P（）
A.一定在直线BD上
B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上
D.不在直线AC上，也不在直线BD上
解析：B如图所示，因为EF?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.
3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，平面BB1D1D与A1C交于点M.求证：
（1）E，C，D1，F四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点；
（3）B，M，D1三点共线.
证明：（1）如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面.
（2）∵EF∥CD1，EF＜CD1，
∴CE与D1F必相交，
设交点为P，如图所示.
则由P∈CE，CE?平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.
（3）连接BD1，∵BD1与A1C均为正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线，故BD1与A1C相交，
则令BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1共线，
∵BD1?平面BB1D1D，故A1C与平面BB1D1D的交点为O，
即O与M重合，故B，M，D1三点共线.
练后悟通
共面、共线、共点问题的证明方法
空间两条直线的位置关系
考向1空间两条直线位置关系的判断
【例1】（1）已知α，β，γ是三个平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，则下列结论正确的是（）
A.直线b与直线c可能是异面直线
B.直线a与直线c可能平行
C.直线a，b，c必然交于一点（即三线共点）
D.直线c与平面α可能平行
（2）在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆