57　第六章　第1课时　数列的概念与简单表示法.docx

等比数列是高考的重点和热点，一是考查利用等比数列的通项公式、前n项和公式进行基本量运算，多以选择题、填空题形式呈现，属于中低难度题；二是考查等比数列的证明、等比数列的性质、通项公式及前n项和等，多以解答题形式呈现，难度中等．

(12分)(2024·全国甲卷T18)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4．

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝(－1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn．

[阅读与思考](1)第1步：根据数列中an和Sn的关系求数列{an}的递推关系．

因为4Sn＝3an＋4，①

所以当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4，②…………(1分)

则当n≥2时，①－②得4an＝3an－3an－1，

即an＝－3an－1．…………………(3分)

第2步：求出a1．

当n＝1时，由4Sn＝3an＋4，得4a1＝3a1＋4，所以a1＝4≠0，……………(4分)

第3步：求数列{an}的通项公式．

所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列，

所以an＝4×(－3)n-1．……………(5分)

(2)第1步：求出数列{bn}的通项公式．

因为bn＝(－1)n-1nan＝(－1)n-1n×4×(－3)n-1＝4n·3n-1，……(7分)

第2步：利用错位相减法求Tn．

所以Tn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n-1，

3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n，……(8分)

两式相减得－2Tn＝4＋4(31＋32＋…＋3n-1)－4n·3n

＝4＋4×31-3n-11-3－

＝－2＋(2－4n)·3n，…………(11分)

所以Tn＝1＋(2n－1)·3n．……………………(12分)

归纳总结：若一个数列的通项公式为anbn的形式，其中数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，则求数列{anbn}的前n项和时，可以利用错位相减法．

本题第(1)问源自人教A版教材选择性必修第二册P56复习参考题4T12(1)．这一问教材习题和高考题在解法上完全相同，难度相当，都是考查由数列的递推关系式求数列的通项公式．本题第(2)问源自人教A版教材选择性必修第二册P56复习参考题4T11(2)．教材习题第(1)问求得an＝2n－1后，则第(2)问cn＝(2n－1)·3n-1与高考题第(2)问bn＝4n·3n-1的通项公式都是等差数列与等比数列“积”的形式，用“错位相减法”求和．高考题难度稍高于教材习题，在于多了一步幂运算，即bn＝(－1)n-1nan＝(－1)n-1n×4×(－3)n-1＝(－1)n-1n×4×(－1)n-1×3n-1＝(－1)2(n-1)n×4×3n-1＝4n×3n-1．

试题评价：本题以数列的前n项和与通项之间的关系为载体，考查数列问题中已知数列的递推关系的条件下，求数列的通项公式及错位相减法求和，属于课程学习情境，难度中等，体现了数学运算、逻辑推理的数学核心素养．

附：1．(人教A版选择性必修第二册复习参考题4P56T12(1))已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝2Sn＋2(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式．

2．(人教A版选择性必修第二册复习参考题4P56T11(2))已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1(n∈N*)．(2)若bn＝3n-1，令cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．

第1课时数列的概念与简单表示法

[考试要求]1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．

考点一由an与Sn的关系求通项公式

1．数列的定义

一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．

2．数列的前n项和

(1)表示：在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和．

(2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S

提醒：若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．

[典例1](1)(人教A版选择性必修第二册P8练习T4改编)数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n＋1，那么{an}的通项公式是________．

(2)(2024·全国甲卷节选)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3．求{an}的通项公式．

(1)an＝4，n=14n-1，n≥2[当n＝1时，a1＝S1＝2

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n＋1－