高等数学下册章二重积分习题课.pdf
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练习题（1）
、填空题:
3231
1、(x3xy+y)d.其中
D
D:0x1,0y1.
3
2、xcos(xy)d
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第九章重积分习题课(一)二重积分
一、二重积分的概念1．定义：2．几何意义：表示曲顶柱体的体积3．物理意义：——的质量.
二、二重积分的性质（三重类似）1．线性性质：2.可加性：4.单调性：3.区域的面积：若在上,,则
5．估值性质：设6．中值定理：则在上至少存在一点,使得是的面积，7.奇偶对称性：,是的面积0D关于x(或y)轴对称,为y(或x)的奇函数设函数在闭区域上连续,D关于x(或y)轴对称,为y(或x)的偶函数则
三、二重积分的计算方法.1．利用直角坐标计算（1）X-型区域：关键：选择积分次序
（2）Y-型区域：2．利用极坐标计算
四.典型例题【例1】利用二重积分的性质，估计积分的值；
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一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-二重积分知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。模块九 二重积分Ⅰ经典习题一．选择合适的积分次序1、_____________，其中由轴，， 围成.2、设 由 及 所围成，则_____________.3、计算二重积分，其中D是由直线， 以及轴与所围成的平面区域.4、计算二重积分，其中是由，，所围成的平面区域.5、计算，其中是平面区域.6、计算二重积分,其中是曲线和在第一象限所围成的区域.7、计算二重积分
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YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法设曲顶柱体的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的一、利用直角坐标计算二重积分同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算先对y后对x的二次积分二重积分的计算是转化为：称D为X–型区域称D为Y–型区域对x,y相继的两次定积分来实现的。先对x后对y的二次积分D：D：说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,
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YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量二重积分的应用一、立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为立体体积上顶面函数下底面函数立体在xy面上投影区域例1求围成区域的体积.。解二、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d?,(称为面积元素)则故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且例2.计算双曲抛物面被柱面解:曲面在xoy面上投影为则所截出的面积A.例3.计算半径为a的球的
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YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY三、二重积分的性质一、引例二、二重积分的定义与可积性二重积分的概念与性质解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割,近似,求和,取极限”1)“分割”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“近似”在每个3)“求和”则中任取一点小曲顶柱体4)“取极限”令2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,
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高等数学教程 下册（第4版）课件：二重积分的计算.pptx
二重积分的计算;的值等于以区域D为底,曲面z=f(x,y);如果先把柱体做平行于yOz平面的切割,则得到
另一个次序相反的二次积分;例1计算其中D为矩形区域;即等于两个定积分的乘积.;;例2计算其中D是由直线;;例3计算其中D如图所示.;;于是;;;而且又是能否进行计算的问题.;例7求证;;;;极坐标系下区域的面积;直角坐标与极坐标的关系为;;解;例10计算;所以;解;(1)设积分区域D关于x轴对称,;如果函数f(x,y)关于变量x为奇函数;0;为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,;;而;(3)设积分区域D关于直线对称,;;﹡11.2.4二重积分的变量替换;基本要求:;解作广义极坐标
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第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 当被积函数 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 例1. 计算 例2. 计算 例3. 计算 例4. 交换下列积分顺序 例5. 计算 二、利用极坐标计算二重积分 设 例6. 计算 注: 例7. 求球体 内容小结 极坐标系情形: 若积分区域为 (3) 计算步骤及注意事项 练 习 * 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法 第九章 且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X – 型区域 则 若D为Y –型区域
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;;;;〔按积分区域分类〕;x;x;x;x;x;0;4.二重积分的计算(D是矩形区域);y;0;0;0;0;D:x1(y)?x?x2(y)
c?y?d;0;0;0;0;0;1;x;0;0;;;D:;一先对x积分;二先对y积分;15.为什么引用极坐标计算二重积分;极坐标系下的面积元素;17.怎样利用极坐标计算二重积分(1);17.怎样利用极坐标计算二重积分(1);17.怎样利用极坐标计算二重积分(1);极点位于区域D的内部;?;?;0;此题用直角系算麻烦，
需使用极坐标系！;2R;0;0;0;0;0;25.将积分化为极坐标形式;谢谢使用;x;附
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2016-2高等数学二重积分.pptx
二重积分的概念
理学院公共数学教研室
张晓平
知识再现——定积分
分割
近似
求和
取极限
一元函数
坐标轴
二元函数
坐标面
定积分
二重积分
第一节二重积分的概念
二、平面薄片的质量
三、二重积分的概念
一、曲顶柱体的体积
柱体体积=底面积×
高
特点：平顶.
柱体体积=？
特点：曲顶.
一、曲顶柱体的体积
曲顶柱体：
以连续曲面z=f(x,y)≥0为顶的立体.
以xOy平面上的有界闭区域D为底,
以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面为侧面
“分割、近似、求和、取极限”
曲顶柱体的体积
“分割、近似、求和、取极限”
曲顶柱体的体积
“分割、近似、求和、取极限”
曲顶柱体的体积
“分割、近
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第二节二重积分的计算一直角坐标系中的计算方法二极坐标系中的计算方法
一直角坐标系中的计算方法计算二重积分的基本思想：化为两次定积分oxyabcd分别用平行于x轴和y轴的直线对区域进行分割，如图。ΔxΔyΔσ可见，除边缘外，其余均为矩形，其面积为可以证明：其中dxdy称为面积元素。
利用二重积分的几何意义化二重积分为二次积分（1）当积分区域为以下均设函数且在D上连续。如图所示：oxyabDoxyabzD相应的曲顶柱体如右图。
在区间[a，b]内任取一点x，过此点作与yoz面平行的平面，它与曲顶柱体相交得到一个一个曲边梯形：底为高为x其面积为所以根据平行截面面积为已知的立体的立体公式，得oxyab
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7.2.4二重积分换元法
定理7−3设D是XOY平面上的有界闭区域,
f(x,y)在D上连续,设变换xx(u,v),yy(u,v)
将uov平面上的闭区域D变为xoy平面中的闭区
域D,设xx(u,v),yy(u,v)在D上有连续偏导数,
且雅克比行列式J(x,y)0,则
(u,v)
f(x,y)dxdyf(x(u,v),y(u,v))Jdudv(7)
DD
注:若J在D内个别点或一条曲线上为零,则
(7)仍成立.(称(7)为二重积分的换元)
注(1):可用关系式:
(x,y)(u,v)(x,y)
1来求J;
(u,v)(x,y)(u,v)
注(2):极坐标变换:x
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第十章 重积分
§1. 二重积分的概念与性质
一、二重积分问题的提出
z f (x , y )
１．曲顶柱体的体积
曲顶柱体体积= ？
D
特点：
曲顶.
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第十章 二重积分 (Double Integral)
第二节 二重积分的计算 (Computation of Double Integral)
教学目的 ：熟练掌握二重积分在直角坐标系下以及极坐标系下的计算方法
教学内容 ：1. 直角坐标系下的二重积分的计算方法
2. 极坐标系下的二重积分在的计算方法
教学重点 ：1.二重积分在直角坐标系下的计算 院
2.二重积分在极坐标系下的计算
教学难点 ：化
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第十章 重积分
§1. 二重积分的概念与性质
一、二重积分问题的提出
z f (x , y )
１．曲顶柱体的体积
曲顶柱体体积= ？
D
特点：
曲顶.