一元微积分（II）期中试卷与答案-2014-11-29.doc

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厦门大学《

厦门大学《一元微积分（II）》课程期中试卷

＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业

高数II期中试卷试卷类型：（A卷）

2014.11.29

1、求下列数列或函数的极限：（每题6分，共24分）

（1）；

解答:由可知

.

易知由夹逼原理，即得

（2）；

解答：

（3）；

解答：原极限=.

由泰勒展开公式知，因此可得

因此原极限=

方法2:原极限

=

（4）

解答：先做有理化，原极限=.

利用洛必达法则，注意到

而,因此，原极限=

2.计算下列函数的导数或不定积分：（每题6分，共24分）

（1）

解答：利用对数求导法，可知该式左右两边对求导可得

即得

（2）设求当时的

解答：当

当因此

方法2:当

当

所以

由于

所以

（3）求

解答：原式=

（4）求

解答：

3.（8分）设函数，问取何值时，在整个定义域上连续.

解答：由于

易知若函数在连续，则在整个定义域上连续.因此要求下列条件成立：

即

所以当时，函数在整个定义域上连续.

4.（8分）求函数的间断点，并判断其类型.

解答：由函数的表达式知间断点可能存在的位置为

由于因此为无穷间断点；

因此为可去间断点；

由函数的周期性，可知为振荡型间断点。

5.（10分）设是由方程所确定的隐函数.

(1)求所确定的曲线上横坐标所在点处的切线方程；(2)求

解答：（1）原方程等价于，对该方程左右两式对求导可得

化简求得因此

注意到当时，因此所确定的曲线上横坐标所在点有

在处的切线方程为在处的切线方程为

（2）

6.（10分）求函数的单调区间、极值以及该函数图像的渐近线.

解答：易知函数的定义域为可求得

由可推出导数值为零的点为和.列下表

-10

++

单调递增极大值单调递减极小值单调递增

由上表可见，函数的单调增区间为，单调减区间为.

极大值为极小值为

该函数水平和垂直渐近线.由

所以当函数存在一条渐近线；

再由

即当函数存在另一条渐近线

7.（8分）求函数的带有皮亚诺余项的3阶麦克劳林公式.

解答：

所以

因此3阶麦克劳林公式是

8.证明题：（8分）

设函数在上连续，在内可导，且求证：至少存在一点满足：

证明：所证结论等价于证明至少存在一点满足

构造辅助函数，显然又由于同样在上连续，在内可导，由罗尔定理，可知至少存在一点满足即证得至少存在一点满足证毕.