微积分(上)章乃器学院期中试卷答案9.doc

浙江工商大学章乃器学院2009/2010学年第一学期期中考试试卷 课程名称： 微积分(上) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟 班级： 学号： 姓名： 得分： 填空题 ( 每小题 2 分，共 14 分 ) 1．= ． 2．设 是 的反函数 , ， 则 的反函数是 。 3．设函数 为 内的奇函数,且,对任意 有 = , 则， ． 4． = ． 5．若 , 则 ，常数 = ． 6．已知 , 则 = ． 7．若函数 在 处连续 , 则 = 选择题(每小题2分，共16分) 1．设 ,, 则 = ( ). (A) (B) (C) (D) 2．对 , 最多只有有限个 是 的 (充分必要条件). (A) 充分但非必要条件 (B) 必要但非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 3．已知数列的通项 , 则当 时,是 (无界变量). (A) 无穷大量 (B) 无穷小量 (C) 有界变量 (D) 无界变量 4．当 时,若 ～ , 则 之值一定为 ( ). (A) (B) ,为任意常数 (C) ,为任意常数 (D) 均为任意常数 5．在区间 内 ,函数 的可去间断点的个数为 ( ). (A) (B) (C) (D) 6．设 存在 ， 不存在 ，则 ( 必不存在 ) ． (A) 必不存在 (B) 必不存在 (C) 必不存在 (D) 必不存在 7．下面四个命题中 , 错误的 是 ( 是有界函数 ). (A) 是奇函数 (B) 是有界函数 (C) 是周期函数 (D) 是无界函数 8．下面四个命题中 , 错误的 是 ( B ). (A) 若 , , 则当 时, (B) 若函数 , ， 则必有 (C) 若函数 在点 处可导 , 则在点 处连续,但逆命题不成立 (D) 若函数 在 上连续, 则函数 在 上也必连续 三、计算题 ( 每小题 6分，共48分 ) 1．求极限 。 。 2．已知 , 求 的值. 3．求极限 . 。 4．求极限 . 。 5．设极限 存在 , 求常数 . ， 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 故当且仅当 时 ，极限 存在 。 6．设 ，当 时,（1） 取何值 为无穷小量 ? （2） 取何值 为无穷大量 ? ， 故当且仅当 时 为无穷小（）； 当且仅当 ， 任意时 为无穷大（）。 7．设 , 讨论 的间断点及其类型. 在非分段点，即 处均连续。 ，故 在 处连续； ， ； 故 在 处间断，点 是第一类跳跃型间断点。 8． 设 , （1）求 ；（2） 讨论 的连续性 ； （3）讨论 的可导性. 当 时， ，故 ； 当 时， ，故 ； 当 时， ， 故 ； 即 ； 在非分段点，即 处均连续。 当且仅当 时 ， 在分段点 处连续； 即 ， 即 当且仅当 时 在分段点 处连续 。 在非分段点，即 处均可导。 在 在分段点 处连续时，当且仅当 时， 在分段点 处可导；即 ； 即 当且仅当 时 在分段点 处可导。 四、应用题( 每小题 8 分，共 16分 ) 1．银行的一年期存款利率为 . 现在银行承诺储户（1）以季度为计息时段，进行复利计息；（2） 以连续复利 ( 即计息时段无限趋于零 ) 来计息 ； 问：这两个优惠吸储方案分别相当于把年利率提高到了多少 ？ （1） （2） 2． 为何值时 , 曲线 与 相切 ? 设公切点为 ；则有 ， 。 五、证明题 ( 6 分 ) 设 在 上连续 , , ；证明: （1）当 时， 是无穷大；（2）方程 至少存在一个实数根。 （1） ，故 。 （2）因为 ，故 ； 所以必存在一点 ， 使得 ； 因为 ，故 ； 所以必存在一点 ， 使得 ； 函数 在闭区间 上连续 ， ， ， 根据介值定理，必至少存在一点 ， 使得 ；即方程 至少存在一个实数根。 浙江工商大学章乃器学院09/10(一)微积分(上)期中考试试卷 第 6 页 共6页