微积分第二学期期中试卷答案.doc

上 海 商 学 院 《高等数学2》期中考试试卷 B卷 适用年级：2010级 本科 适用专业： 计算机科学与技术，电子信息工程，食品质量与安全 试卷说明： 本试卷共四 道大题，满分100分，考试时间80分钟； 闭卷考试，且不准使用计算器； 第三、四大题需含有解题或证明过程。 姓名： 班级： 学号： 题 号 一 二 三 四 总分 得 分 一、选择题（每题3分，共计15分） 将椭圆绕轴旋转一周，则所生成的旋转曲面的方程是（ C ）。 (A) (B) (C) (D) 2．已知点，则与方向相同的单位向量是（ D ）。 (A) (B) (C) (D) 3. 二元函数的下列四条性质： （1）在点连续； （2）在点可微分； （3）在点连续； （4）存在； 的正确关系是（ B ）。 (A) (B) (C) (D) 4．螺旋线在点处的切线方程为（ A ）。 (A) (B) (C) (D) 分析：的切向量， 而点处对应的参数，故点处的切向量为， 则在点处的切线方程为或。 5. 设，其中；，其中，则下列等式正确的是（ B ）。 (A) (B) (C) (D) 二、填空题（每题3分，共计15分） 已知 则的面积等于 。 解： 而，故。 所以。 2. 设，则 0 。 解：因为， 所以，所以。 3．函数在点处的全微分 。 4. 函数在点沿减少最快的方向的方向导数等于 。 解：函数在点的梯度为， 函数减少最快的方向即梯度的反方向，此时，方向导数为。 5．改变二次积分的积分次序得 。 三、计算题（每题10分，共计60分） 设一平面平行于直线，且垂直于平面，求该平面的 法线向量的方向余弦。 解：由已知得平面的法向量可取为，――――――――――――――――1分 直线的方向向量可取为，――――――――――――――――3分 故所求平面的法线向量可取为。――――――――――――――――4分 因为， 所以的方向余弦为 或―――――――――2分 ★2. 计算。 解：，―――――――――――4分 取，―――――――――――2分 则。―――――――――――2分 因为该极限值随着的变化而变化，所以 不存在。――――――――2分 已知，计算。 解：，――――――――4分 ――――――――6分 4． 求的一阶偏导数（其中具有一阶连续偏导数）。 解：设，则。画出树状图。――――――――2分 则，――――――――2分 ,――――――――4分 。――――――――2分 ★5．求由平面所围成的柱体被平面及抛物面截得的立体的体积。 解: 如图，所求立体体积为――――――――3分 ――――――――4分 。―――――――――3分 6． 计算三重积分，其中是由所围成的闭区域。 解：（截面法）可表示为，――――――――3分 故――――――――4分 。――――――――3分 四、解答题（10分） 求内接于半径为的球且有最大体积的长方体。 解：设球面方程为。 设球的内接长方体在第一卦限内的顶点为， 则长方体为体积， 则问题就是求在条件下表面积的最大值。 作拉格朗日函数，其中为参数。----------------2分 求其对的偏导数，并使之为零，且与条件联立得方程组： ，--------------------――――――――――――――――――――4分 求得。--------------------――――――――――――――――――――2分 这是唯一驻点，也是唯一的可能极值点。 由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在唯一驻点处取得。 也就是说，长方体、宽、高为时，体积最大。------------------―――――――-2分 第4页，共5页