相似矩阵与矩阵的对角化.pptx

5.3相似矩阵与矩阵的对角化

定理5

若n阶矩阵A与对角阵推论由于对角句阵的特征值为对角线上的元素,所以由定理5得

定理6

推论1如果矩阵A的特征值都是单特征根，则A与对角矩阵相似.01推论102

推论2

例3设矩阵解

例4设A是3阶矩阵且I+A,3I－A,I－3A均不可逆.证明：1证2

由前面的例题可知,并不是任何一个方阵都可对角化的,但是当方阵A为实对称矩阵时,A必可对角化,且实对称矩阵对于我们讨论下面的二次型非常重要.

AB实对称矩阵的特征值全为实数.定理7

定理8

由于相互正交的向量必线性无关，所以我们得到。推论对应实对称矩阵不同特征值的特征向量必定线性无关若λ是实对称矩阵A的r重特征根，则对应特征值λ恰有r个线性无关的特征向量。由定理6，定理7，定理8和定理9可以得到2016实对称矩阵A一定可以对角化。即存在正交矩阵P,使P-1AP=Λ，其中Λ是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵理9证明（略）定理10

理解特征值与特征向量的定义,了解其性质,会计算特征值与特征向量.了解相似矩阵的概念及性质.理解方阵可对角化的条件,掌握用相似变换化方阵为对角矩阵的方法.了解实对称矩阵的性质,掌握实对称矩阵正交相似对角化的方法.基本要求