ch第节 相似矩阵和矩阵的对角化.doc

第二节 相似矩阵和矩阵的对角化 作为矩阵的特征值理论的一个应用，本节我们讨论相似矩阵的概念与性质，以及方阵相似于对角矩阵的条件。 一、相似矩阵的概念 定义4.3设A、B 都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使 则称矩阵A相似于矩阵B，记作A~B。 相似描述了n阶矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面的性质： 自反性，即A~A； 对称性，即若A~B，则B~A； 传递性，即若 A~B，B~C，则A~C。 由定义不难证明这些性质，它们的证明留给读者。 由于相似矩阵的对称性，我们常称两矩阵相似，不再强调A相似于B；还是B相似于A 。 二、相似矩阵的性质 相似矩阵具有如下的性质：下设A，B都是n阶矩阵。 性质4.1 若n阶矩阵A与B相似，则（1）；（2）A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同（但注意：特征向量不一定相同）。（注意：特征多项式相同的矩阵不一定是相似的.例如 它们的特征多项式都是，但和不相似，因为和相似的矩阵只能是本身.） 证明 因A与B相似，即有可逆矩阵P，使 故 。 推论 若n阶矩阵A与对角矩阵 相似，则即是A的n个特征值。 性质4.2 若A~ B ，且矩阵A可逆，则矩阵B也可逆，且。 证 由性质4.1，当A~B时，detA=detB，所以，当detA(0时必有detB(0，即A可逆时B也可逆。设P为可逆矩阵，且，则 即。 问题：是否每个矩阵都能相似于对角矩阵？如果能相似于对角矩阵，怎样求出这个对角矩阵及相应的可逆矩阵P？ 三、矩阵相似于对角矩阵的条件 定理4.3 n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。 证明：必要性 设有可逆矩阵P，使得 令矩阵P的n个列向量为 ，则有 因而 因为P是可逆矩阵，所以 为线性无关的非零向量，它们分别是矩阵A对应于特征值的特征向量。 充分性 由必要性的证明可见，如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，设它们为，对应的特征值分别为，则有 以这些向量为列构造矩阵 P=（），则P可逆， 即 推论 若n阶矩阵A有n个不同的特征值（即每个特征值都是一重的），则A必能相似于对角矩阵。 当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而不能对角化。例4.2中的A的特征方程有重根，但能找到3个线性无关的特征向量，因此例4.2中的A可以相似于对角阵。而在例4.3中的A的特征方程有重根，又不能找到3个线性无关的特征向量，因此例4.3中的A不能对角化。 一个矩阵具备什么样的条件才能对角化？这是一个较为复杂的问题。我们对此不进行论证，把结论列在此。证明可在任何一本高等代数书上找到。 定理4。4 设n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A的每个重特征值对应有个线性无关的特征向量。也即特征矩阵的秩为。 从上述定理可归纳出判断一个矩阵A能否相似于对角矩阵，在A能相似于对角矩阵时，求其相似对角矩阵及可逆矩阵P使的步骤如下： （1）求出矩阵A的所有的特征值，设A有S个不同的特征值，它们的重数分别为，。 （2）对A 的每个特征值 ，将（）化成阶梯形矩阵，若对某个i ， ,则方程组没有个线性无关解（即对应于特征值没有个线性无关的特征向量）则矩阵A不能相似于对角矩阵； 若对所有的i ，都有 r（A—E）= i=1~s 则矩阵A能相似于对角矩阵； （3）A能相似于对角矩阵时，对A的每个特征值,求方程组 的基础解系，设为，以这些向量为列构造矩阵 则 其中有个，i=1 ~ s。 例4．5 设矩阵 试问A能否对角化？如果能，求出相应的可逆矩阵P，使为对角阵。 解 所以，A的特征值为， 当时，解方程 ， 即 得其基础解系为， 当时，解齐次线性方程组（2E-A）X=0 ，得基础解系为，, 即A有三个线性无关的特征向量,A可对角化. 以为列作矩阵 则有 . 但如果改取 则有 . 例4.6设矩阵 试问A能否对角化？如果能，求出相应的可逆矩阵P，使为对角阵。 求 解 （1）A的特征值为， 当时，特征向量 ， 当时，特征向量， 即2阶矩阵A有2个线性无关的特征向量,可知A可对角化. 以 为列作矩阵 则有 当n较大时，直接计算是不容易的，因为有 于是 = = = 注：当n阶方阵A可对角化时，总可以用这种比较简单的方法求A的高次幂。