十九5—3、4相似矩阵对称矩阵的对角化.ppt
文本预览下载声明
显示全部
文档详情
相似文档
-
十九 5-3、4相似矩,对称矩阵的对角化十九 5-3、4相似矩阵,对称矩阵的对角化.ppt
第三节 相似矩阵 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化 四、小结 第四节 对称矩阵的对角化 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法 三、小结 作业 P138—16,17,18 于是得正交阵 解 第一步 求A的特征值．由 1. 等价关系 推论 若 阶方阵A与对角阵 说明 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似． 推论 如果A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能 对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量， A还是能对角化． 例1
-
线代相似矩阵及对称矩阵的对角化.ppt
因为 x ? 0 , 所以 故 即 这说明 ? 是实数. 证毕 及 两式相减,得 础解系, 所以对应的特征向量可以取实向量. 显然, 当特征值 ? 为实数时, 齐次线性方程组 (A - ?E)x = 0 是实系数方程组, 由 | A - ?E | = 0 知必有实的基 定理 6 设 ?1 , ?2 是对称矩阵 A 的两个特 征值, p1 , p2 是对应的特征向量, 若 ?1 ? ?2 , 则 p1 , p2 正交. 由已知有 ?1p1 = Ap1 , ?2p2 = Ap2 , ?1 ? ?2 . 因 A 对称, 故 ?1p1T = (?1
-
相似矩阵,对称矩阵的对角化.ppt
第三节 相似矩阵 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化 四、小结 第四节 对称矩阵的对角化 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法 三、小结 作业 P138—16,17,18 于是得正交阵 解 第一步 求A的特征值．由 1. 等价关系 推论 若 阶方阵A与对角阵 说明 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似． 推论 如果A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能 对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量， A还是能对角化． 例1
-
相似矩阵与相似对角化.pptx
1二.相似矩阵的定义及性质定义:设都是阶矩阵，若存在可逆矩阵，使得则称矩阵是矩阵的相似矩阵，对进行运算称为对进行相似变换，可逆矩阵称为把矩阵变成矩阵的相似变换矩阵。或称矩阵与矩阵相似，记作注：矩阵相似是一种等价关系（1）反身性：（2）对称性：若则（3）传递性：若则
则是的个特征值。相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的行列式、相同的迹、相同的秩性质1:推论：若矩阵与对角阵相似，
3(1)相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。其它的有关相似矩阵的性质：(3)若与相似，则与相似。（为正整数）(5)(6)（为任意常数）(2)若与相似，则与相似。（为正整数）(4)
-
相似矩阵与矩阵可对角化的条.ppt
4.2相似矩阵与矩阵可对角化的条件01对角矩阵是最简单的一类矩阵.对任一n阶03的许多原有的性质，在理论和应用方面都具02矩阵A，是否可将它化为对角矩阵，并保持A04有重要意义一.相似矩阵及其性质由此可以看出，与A相似的矩阵不是唯一的，也未必是对角矩阵.然而，对某些矩阵，如果适当选取可逆矩阵P，就可能使成为对角矩阵相似使同阶矩阵之间的一种重要关系，具有下述性质：设A,B,C为n阶矩阵，则相似矩阵还有下面的性质：相似矩阵的行列式相等.相似矩阵的秩相等.相似矩阵或都可逆或都不可逆.对于相似矩阵还有以下性质：二.矩阵可对角化的条件定理4.9n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向
-
相似矩阵与矩阵可对角化的条.pptx
P12-1§3.2相似矩阵与矩阵可对角化的条件相似矩阵及其性质矩阵可对角化的条件
P12-2一、相似矩阵及其性质1.Def.:设A,B为n阶矩阵,若存在n阶可逆矩阵P,使得P-1AP=B,则称矩阵A与矩阵B相似,记作A~B.如设易验证??注
P12-3一、相似矩阵及其性质1.Def.:设A,B为n阶矩阵,若存在n阶可逆矩阵P,使得P-1AP=B,则称矩阵A与矩阵B相似,记作A~B.(1)自反性:A~A(2)对称性:若A~B,则B~A2.相似的性质1)设A，B，C为n阶矩阵，则(3)传递性:若A~B,B~C,则A~C2)设矩阵A~B，则A,B具有相同的特征值.3)设矩阵A~B，则Am~Bm,其中
-
相似矩阵与矩阵的对角化.pptx
5.3相似矩阵与矩阵的对角化
定理5
若n阶矩阵A与对角阵推论由于对角句阵的特征值为对角线上的元素,所以由定理5得
定理6
推论1如果矩阵A的特征值都是单特征根，则A与对角矩阵相似.01推论102
推论2
例3设矩阵解
例4设A是3阶矩阵且I+A,3I－A,I－3A均不可逆.证明：1证2
由前面的例题可知,并不是任何一个方阵都可对角化的,但是当方阵A为实对称矩阵时,A必可对角化,且实对称矩阵对于我们讨论下面的二次型非常重要.
AB实对称矩阵的特征值全为实数.定理7
定理8
由于相互正交的向量必线性无关，所以我们得到。推论对应实对称矩阵不同特征值的特征向量必定线性无关若λ是实对称矩阵A的r重特征
-
4﹒3相似矩阵和方阵的对角化.ppt
一、 相似矩阵及其性质;相似矩阵有相同的秩。
相似矩阵的行列式相等。
相似矩阵或都可逆或都不可逆。
当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。;推论 若 阶方阵A与对角阵;证明 必要性：;; 矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置
要相互对应．;说明;例1;定理4.6 实对称矩阵的特征值为实数.;于是有;定理4.6的意义;证明;定理4.8;4.8; 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化
为对角矩阵，其具体步骤为：;解;解之得基础解系 ;解之得基础解系;;;;相似矩阵有相同的秩。
相似矩阵的行列式相等。
相似矩阵或都可逆或都不可逆。
当它们可逆时，它们的逆矩阵也
-
13第13次课相似矩阵与方阵的对角化实对称矩阵的对角化.ppt
第十三次课;§5.3相似矩阵与方阵的对角化;性质1： ;二、方阵的相似对角化;3.方阵A相似对角化的步骤;4、若;例1;解;当;例2;§5.4 实对称矩阵的对角化;二、实对称矩阵的正交相似对角化;2、实对称矩阵正交相似对角化的步骤;例1;解;当;例2;小 结;实对称矩阵的性质;提前预习
-
相似矩阵及对称矩阵对角化定义1设AB都是n阶矩阵若有可逆矩阵.PPT
相似矩阵及对称矩阵对角化 四、对称矩阵对角化 * * * 定义1：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P ?1AP = B ， 则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵，或称矩阵A 和 B 相似． 对 A 进行运算 P ?1AP 称为对 A 进行相似变换称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵． 一、基本概念 定义2：对于n阶矩阵A，如果存在可逆矩阵P 使得 为对角矩阵，称矩阵A可对角化。 定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相
-
实对称矩阵的相似矩阵.ppt
1§4实对称矩阵的相似矩阵一、实对称矩阵的特征值的有关性质二、求正交矩阵的方法2对称阵此时A称为实对称矩阵.性质1.实对称阵的特征值全为实数.一、实对称矩阵的特征值的有关性质性质2.证明:定理八.4那么其最大线性无关组所包含的向量个数恰为k.推论.实对称矩阵必与对角矩阵相似.定理九.若A为n阶实对称阵,则总有正交00阵P，使二、求正交矩阵的方法5求正交矩阵的具体步骤为:例.A的特征多项式:解:第一步:求出A的所有特征值.故特征值为:求出A的特征向量.7取同解方程组:第二步:取同解方程:9基础解系:基础解系:将特征向量正交规范化.
-
5–4实对称矩阵的相似矩阵.ppt
中南财经政法大学信息系;定理1 对称矩阵的特征值为实数.;于是有;定理1的意义;证明;它们的重数依次为;由于不同特征值的特征向量正交，; 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化
为对角矩阵，其具体步骤为：;解;解之得基础解系 ;解之得基础解系;;;;单位化,令;则 P 是正交阵,且;例2;例3;;例4 设A,B是两个n阶实对称阵，则存在正交矩阵P，使得 的充要条件是：A与B有完全相同的特征值。;;;必要性 ;1. 对称矩阵的性质：;思考题;思考题解答;
-
§4-5对称矩阵的相似矩阵.ppt
* §4.5 实对称矩阵的对角化 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. * 定理4.5.1 实对称矩阵的特征值为实数. 证明 4.5.1、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyrigh
-
实对称矩阵的相似对角化.ppt
实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：01性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。02两端取转置，得：03性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。04对一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关。05实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化：由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。定理2：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似。性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有k个。再单位化，得：用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：*
-
3实对称矩阵的相似对角化.docx
3实对称矩阵的相似对角化
实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它在数学和物理中有着广泛的应用。一个重要的性质是，任何实对称矩阵都可以通过相似变换对角化。这意味着我们可以找到一个可逆矩阵，使得它与原矩阵相乘后，结果是一个对角矩阵。对角矩阵的主对角线上的元素是原矩阵的特征值，而特征值与矩阵的性质密切相关。
3.1实对称矩阵的定义
$A$是实数矩阵，即其所有元素都是实数。
$A$等于其转置矩阵，即$A=A^T$。
$$
A=\begin{pmatrix}123\\245\\356\end{pmatrix}
$$
3.2实对称矩阵的特征值
实对称矩阵的特征值是其特征多项式的根。特征多项式是一个关于$\lamb