13第13次课相似矩阵与方阵的对角化实对称矩阵的对角化.ppt
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第十三次课;§5.3相似矩阵与方阵的对角化;性质1： ;二、方阵的相似对角化;3.方阵A相似对角化的步骤;4、若;例1;解;当;例2;§5.4 实对称矩阵的对角化;二、实对称矩阵的正交相似对角化;2、实对称矩阵正交相似对角化的步骤;例1;解;当;例2;小 结;实对称矩阵的性质;提前预习
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4﹒3相似矩阵和方阵的对角化.ppt
一、 相似矩阵及其性质;相似矩阵有相同的秩。
相似矩阵的行列式相等。
相似矩阵或都可逆或都不可逆。
当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。;推论 若 阶方阵A与对角阵;证明 必要性：;; 矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置
要相互对应．;说明;例1;定理4.6 实对称矩阵的特征值为实数.;于是有;定理4.6的意义;证明;定理4.8;4.8; 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化
为对角矩阵，其具体步骤为：;解;解之得基础解系 ;解之得基础解系;;;;相似矩阵有相同的秩。
相似矩阵的行列式相等。
相似矩阵或都可逆或都不可逆。
当它们可逆时，它们的逆矩阵也
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十九5—3、4相似矩阵对称矩阵的对角化.ppt
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线代相似矩阵及对称矩阵的对角化.ppt
因为 x ? 0 , 所以 故 即 这说明 ? 是实数. 证毕 及 两式相减,得 础解系, 所以对应的特征向量可以取实向量. 显然, 当特征值 ? 为实数时, 齐次线性方程组 (A - ?E)x = 0 是实系数方程组, 由 | A - ?E | = 0 知必有实的基 定理 6 设 ?1 , ?2 是对称矩阵 A 的两个特 征值, p1 , p2 是对应的特征向量, 若 ?1 ? ?2 , 则 p1 , p2 正交. 由已知有 ?1p1 = Ap1 , ?2p2 = Ap2 , ?1 ? ?2 . 因 A 对称, 故 ?1p1T = (?1
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相似矩阵,对称矩阵的对角化.ppt
第三节 相似矩阵 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化 四、小结 第四节 对称矩阵的对角化 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法 三、小结 作业 P138—16,17,18 于是得正交阵 解 第一步 求A的特征值．由 1. 等价关系 推论 若 阶方阵A与对角阵 说明 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似． 推论 如果A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能 对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量， A还是能对角化． 例1
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线性代数课件5_3相似矩阵与方阵对角化new.ppt
只需寻找;本章结构：;本节重点：;求n阶特征值和特征向量的方法：;一、对称矩阵一定能对角化;;;定理1 设A 为n 阶对称矩阵,;步骤：;例1 求一正交相似变换阵;（2）相应于;相应于;相应于;（3）正交相似变换矩阵取为;例2 求一正交相似变换阵;（2）相应于;相应于;;;三、正交变换化二次型为标准形;例3 求一个正交变换 x = Py，把二次型;;（1）判断二次曲线;（1）判断二次曲线;;;（2）判断二次曲面;;;;三、Lgrange配方法化二次型为标准形;拉格朗日配方法的步骤： ;例4;;例5;;注：
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第三节相似矩阵与方阵的对角化.ppt
一、相似矩阵与相似变换的概念 相似矩阵与相似变换的性质 二、利用相似变换将方阵对角化 三、小结 * * 1. 等价关系 证明 推论 若n阶方阵A与对角阵 定理4.5 若n阶方阵A与B相似，则A与B的秩相同， 即 说明 推论 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似． 如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化． 例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解 解之得
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线性代数课件5-3相似矩阵与方阵对角化.pptx
只需寻找使二次型转换为标准形正交变换要判断曲线、曲面形状只需寻找
本章结构：二次型的定义及矩阵表示正交向量组特征值与特征向量方阵对角化的充要条件对称方阵对角化二次型化标准型
本节重点：复习A有n个线性无关的特征向量.n阶矩阵A可对角化求正交相似变换阵将实对称矩阵化为对角阵；求正交变换将二次型化为标准形。
求特征多项式就是n阶矩阵A的特征值；求特征方程的根的非零解，求解齐次线性方程组就是n阶矩阵A的特征向量.求n阶特征值和特征向量的方法：
引理1对称矩阵的特征值为实数.特征向量正交.r重根，则特征向量.r个线性无关的恰有的特征方程从而特征值
分析：01设对称阵A有m个不同特征值02它们的重数依次
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十九 5-3、4相似矩,对称矩阵的对角化十九 5-3、4相似矩阵,对称矩阵的对角化.ppt
第三节 相似矩阵 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化 四、小结 第四节 对称矩阵的对角化 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法 三、小结 作业 P138—16,17,18 于是得正交阵 解 第一步 求A的特征值．由 1. 等价关系 推论 若 阶方阵A与对角阵 说明 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似． 推论 如果A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能 对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量， A还是能对角化． 例1
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相似矩阵与相似对角化.pptx
1二.相似矩阵的定义及性质定义:设都是阶矩阵，若存在可逆矩阵，使得则称矩阵是矩阵的相似矩阵，对进行运算称为对进行相似变换，可逆矩阵称为把矩阵变成矩阵的相似变换矩阵。或称矩阵与矩阵相似，记作注：矩阵相似是一种等价关系（1）反身性：（2）对称性：若则（3）传递性：若则
则是的个特征值。相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的行列式、相同的迹、相同的秩性质1:推论：若矩阵与对角阵相似，
3(1)相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。其它的有关相似矩阵的性质：(3)若与相似，则与相似。（为正整数）(5)(6)（为任意常数）(2)若与相似，则与相似。（为正整数）(4)
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相似矩阵与矩阵可对角化的条.ppt
4.2相似矩阵与矩阵可对角化的条件01对角矩阵是最简单的一类矩阵.对任一n阶03的许多原有的性质，在理论和应用方面都具02矩阵A，是否可将它化为对角矩阵，并保持A04有重要意义一.相似矩阵及其性质由此可以看出，与A相似的矩阵不是唯一的，也未必是对角矩阵.然而，对某些矩阵，如果适当选取可逆矩阵P，就可能使成为对角矩阵相似使同阶矩阵之间的一种重要关系，具有下述性质：设A,B,C为n阶矩阵，则相似矩阵还有下面的性质：相似矩阵的行列式相等.相似矩阵的秩相等.相似矩阵或都可逆或都不可逆.对于相似矩阵还有以下性质：二.矩阵可对角化的条件定理4.9n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向
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相似矩阵与矩阵可对角化的条.pptx
P12-1§3.2相似矩阵与矩阵可对角化的条件相似矩阵及其性质矩阵可对角化的条件
P12-2一、相似矩阵及其性质1.Def.:设A,B为n阶矩阵,若存在n阶可逆矩阵P,使得P-1AP=B,则称矩阵A与矩阵B相似,记作A~B.如设易验证??注
P12-3一、相似矩阵及其性质1.Def.:设A,B为n阶矩阵,若存在n阶可逆矩阵P,使得P-1AP=B,则称矩阵A与矩阵B相似,记作A~B.(1)自反性:A~A(2)对称性:若A~B,则B~A2.相似的性质1)设A，B，C为n阶矩阵，则(3)传递性:若A~B,B~C,则A~C2)设矩阵A~B，则A,B具有相同的特征值.3)设矩阵A~B，则Am~Bm,其中
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相似矩阵与矩阵的对角化.pptx
5.3相似矩阵与矩阵的对角化
定理5
若n阶矩阵A与对角阵推论由于对角句阵的特征值为对角线上的元素,所以由定理5得
定理6
推论1如果矩阵A的特征值都是单特征根，则A与对角矩阵相似.01推论102
推论2
例3设矩阵解
例4设A是3阶矩阵且I+A,3I－A,I－3A均不可逆.证明：1证2
由前面的例题可知,并不是任何一个方阵都可对角化的,但是当方阵A为实对称矩阵时,A必可对角化,且实对称矩阵对于我们讨论下面的二次型非常重要.
AB实对称矩阵的特征值全为实数.定理7
定理8
由于相互正交的向量必线性无关，所以我们得到。推论对应实对称矩阵不同特征值的特征向量必定线性无关若λ是实对称矩阵A的r重特征
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4_2方阵的相似对角化与正交矩阵.ppt
《线性代数》 下页 结束 返回 《线性代数》 下页 结束 返回 第2节 相似矩阵与矩阵的对角化 一、相似矩阵及其性质 二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件 下页 2.1 相似矩阵及其性质 定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B 成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B. 例如， 5 -1 3 1 A= 0 -2 4 0 B= ， ， 1 -5 1 1 P= ， 因为 1 -5 1 1 -1 1 -
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方阵的相似对角化与正交矩阵.ppt
《线性代数》 下页 结束 返回 《线性代数》 下页 结束 返回 第2节 相似矩阵与矩阵的对角化 一、相似矩阵及其性质 二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件 下页 2.1 相似矩阵及其性质 定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B 成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B. 例如， 5 -1 3 1 A= 0 -2 4 0 B= ， ， 1 -5 1 1 P= ， 因为 1 -5 1 1 -1 1 -
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相似矩阵及对称矩阵对角化定义1设AB都是n阶矩阵若有可逆矩阵.PPT
相似矩阵及对称矩阵对角化 四、对称矩阵对角化 * * * 定义1：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P ?1AP = B ， 则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵，或称矩阵A 和 B 相似． 对 A 进行运算 P ?1AP 称为对 A 进行相似变换称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵． 一、基本概念 定义2：对于n阶矩阵A，如果存在可逆矩阵P 使得 为对角矩阵，称矩阵A可对角化。 定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相