线代相似矩阵及对称矩阵的对角化.ppt

因为 x ? 0 , 所以 故 即 这说明 ? 是实数. 证毕 及 两式相减,得 础解系, 所以对应的特征向量可以取实向量. 显然, 当特征值 ? 为实数时, 齐次线性方程组 (A - ?E)x = 0 是实系数方程组, 由 | A - ?E | = 0 知必有实的基 定理 6 设 ?1 , ?2 是对称矩阵 A 的两个特 征值, p1 , p2 是对应的特征向量, 若 ?1 ? ?2 , 则 p1 , p2 正交. 　　由已知有 ?1p1 = Ap1 , ?2p2 = Ap2 , ?1 ? ?2 . 因 A 对称, 故 ?1p1T = (?1p1)T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA , 于是 ?1 p1Tp2 = p1TAp2 = p1T(?2p2 ) = ?2 p1Tp2 , 即 (?1 - ?2 )p1Tp2 = 0 . 但 ?1 ? ?2 , 故 p1Tp2 = 0, 即 p1 与 p2 正交. 证毕 证明 从而对应的特征值 ? 恰有 k 个线性无关的特征向量. 推论 设 A 为 n 阶对称矩阵, ? 是 A 的特 征方程的 k 重根, 则矩阵 A - ?E 的秩 R(A - ?E) = n - k , 证明从略. 值为对角元素的对角矩阵. 矩阵 P , 使 P-1AP = ? , 其中 ? 是以 A 的 n 个特征 定理 7 设 A 为 n 阶对称矩阵, 则必有正交 证明 由定理7 知对称矩阵 A 与对 角矩阵 ? = diag(?1 , ··· , ?n) 相似，从而 A - ?E 与 ? - ?E = diag(?1 - ? , ··· , ?n - ?) 相似. 当 ? 是 A 的 k 重特征值时，?1 , ··· , ?n 这 n 个特征 值中有 k 个等于 ? ，有 n – k 个不等于 ? ，从 而对角阵 ? - ?E 的对角元恰有 k 个等于 0 ，于 是 R(? - ?E) = n – k . 而 R(A - ?E) = R(? - ?E), 所以 R(A - ?E) = n – k . 证毕 n1 + n2 + ··· + ns = n. 三、对称矩阵对角化的步骤 步骤 1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A 有 s 个不同的特征值 ?1 , ?2 , ··· , ?s ，它们的重 数分别为 n1 , n2 , ··· , ns , 步骤 2 : 对 A 的每个特征值 ?i ,求(A - ?i E)x=0 的基础解系, 设为 ( i = 1, 2, ··· , s). ，以这些向量为列构 并把它们正交化、单位化，仍记 为 造矩阵 上的元素( A 的特征值 ) 之间的对应关系. 则 P 为正交矩阵，且 P-1AP = ? . 要注意矩阵 P 的列与对角矩 阵 ? 主对角线 四、举例 例 3 设 求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵. A 的特征多项式为 所以 A 的三个特征值为: 当 时, 解方程组 即 解得 当 时, 解方程组 即 解得 当 时, 解方程组 即 解得 显然, p1 , p2 , p3 两两正交, 现把它们单位化. 令 再令 则 P 为正交矩阵, 且有 例 4 设 求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵. A 的特征多项式为 解 所以 A 的三个特征值为: 当 时, 解方程组 即 解得 当 时, 解方程组 即 解得 * 相似矩阵的概念 主要内容 相似矩阵的性质 矩阵对角化的步骤 第 三 节 相似矩阵 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 一、相似矩阵的概念 定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, P 为 n 阶可逆 矩阵, 且 P-1AP = B , 对 A 进行运算 P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵. 而矩阵 B 相似于矩阵 C , 则矩阵 A 相似于矩阵 C. (1) 自反性　 即一个矩阵与它自身相似; (2) 对称性　 即若矩阵 A 相似于矩阵 B , 则矩阵 B 也相似于矩阵 A; (3) 传递性　 即若矩阵 A 相似于矩阵 B , 二、相似矩阵的性质 相似描述了矩阵之间的一种关系, 这种关系 具有下面的性质: 因而 A 与 B 有相同的特征值、相同的行列式. 相似矩阵具有下列性质：下设 A，B 是同阶矩阵. 定