相似矩阵和矩阵可对角化的条件.pptx
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4.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件;一.相似矩阵及其性质;由此可以看出，与A相似的矩阵不是唯一的，也未必是
对角矩阵.然而，对某些矩阵，如果适当选取可逆矩阵P，
就可能使 成为对角矩阵;相似矩阵还有下面的性质：;对于相似矩阵还有以下性质：;二.矩阵可对角化的条件
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3﹒2相似矩阵和矩阵可对角化的条件.ppt
§3.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件; 一、相似矩阵及其性质; 一、相似矩阵及其性质; 一、相似矩阵及其性质;二、矩阵可对角化的条件;例1 设有矩阵;例2 判定下列矩阵是否相似于对角矩阵,若相似, 则求出
可逆矩阵 P , 使 P-1AP 是对角矩阵, 并求 A5.;例4 设 3 阶矩阵 A 的特征值为;;2. 若3×4矩阵 A 的秩为2, 则( )
A中必有一个零行;
A中必有两行元素成比例;
A中任一行向量都能由其余两个行向量线性表示;
通过初等行变换, 可将 A的第三行化为零向量.
3. 设 A 是 n 阶方阵, AX = 0有非零解, 证明AATX
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第2节相似矩阵和矩阵对角化的条件(简).ppt
第二节 相似矩阵和矩阵对角化的条件;问A是否相似于B？;取;对于可逆矩阵 ;2．和数量矩阵相似的矩阵只有它自身．;1．反身性：;４．若 则 与 的特征值相同;若两对角阵Ａ和Ｂ相似;由性质４可知：;５．若 则;８．若 则;10.若 则;10.若 则;;相似矩阵有许多共同的性质;三. ｎ阶矩阵A与对角矩阵相似的条件;显然，;是A的特征值，;充分性;即;若 A 有 n 个线性无关的特征向量,则 A与对角阵 相似，且;例１ 判断矩阵 是否和对角;对于;对于;Ａ有三个线性无关的特征向量;或;推论
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相似矩阵和矩阵对角化的条件(简).pptx
一．相似的定义设A、B都是n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得则称A相似于B．（A等价于B：）记作第二节相似矩阵和矩阵对角化的条件
问A是否相似于B？因为存在可逆矩阵使得例如已知
添加标题取01添加标题令02添加标题已知求一个与A相似的矩阵B．03添加标题即04添加标题则05
对于可逆矩阵对于可逆矩阵一般来说,与n阶矩阵A相似的矩阵可能不只一个．因为对于任意的n阶可逆矩阵都有不同，则可能不同，但都有．注
和数量矩阵相似的矩阵只有它自身．，则对于任意的可逆矩阵Ｐ设
二．相似的性质反身性：A对称性：B传递性：C
４．若则与的特征值相同
若两对角阵Ａ和Ｂ相似Ａ和Ｂ有什么关系？
由性质４可知：若两对角
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相似矩阵与矩阵可对角化的条件.ppt
5.2.1相似矩阵的概念5.2相似矩阵矩阵的相似关系的性质：定义
5.2.2相似矩阵的性质性质
性质
性质
其中定理矩阵可对角矩阵的条件
注推论
注
例解由
得其基础解:
定理
例
例
例
*5.2.4约当（Jordan）标准形简介个约当块的分块矩阵.的方阵,称为特征值定义形如的约当块.而称主对角线上为若干
为约当形矩阵，或约当标准形.例如，都是约当块.
而矩阵01是一个六阶约当形矩阵，它由三个约当块组成.02
注
与下列约当形矩阵相似：
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相似矩阵与相似对角化.pptx
1二.相似矩阵的定义及性质定义:设都是阶矩阵，若存在可逆矩阵，使得则称矩阵是矩阵的相似矩阵，对进行运算称为对进行相似变换，可逆矩阵称为把矩阵变成矩阵的相似变换矩阵。或称矩阵与矩阵相似，记作注：矩阵相似是一种等价关系（1）反身性：（2）对称性：若则（3）传递性：若则
则是的个特征值。相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的行列式、相同的迹、相同的秩性质1:推论：若矩阵与对角阵相似，
3(1)相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。其它的有关相似矩阵的性质：(3)若与相似，则与相似。（为正整数）(5)(6)（为任意常数）(2)若与相似，则与相似。（为正整数）(4)
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相似矩阵与矩阵可对角化的条.ppt
4.2相似矩阵与矩阵可对角化的条件01对角矩阵是最简单的一类矩阵.对任一n阶03的许多原有的性质，在理论和应用方面都具02矩阵A，是否可将它化为对角矩阵，并保持A04有重要意义一.相似矩阵及其性质由此可以看出，与A相似的矩阵不是唯一的，也未必是对角矩阵.然而，对某些矩阵，如果适当选取可逆矩阵P，就可能使成为对角矩阵相似使同阶矩阵之间的一种重要关系，具有下述性质：设A,B,C为n阶矩阵，则相似矩阵还有下面的性质：相似矩阵的行列式相等.相似矩阵的秩相等.相似矩阵或都可逆或都不可逆.对于相似矩阵还有以下性质：二.矩阵可对角化的条件定理4.9n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向
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相似矩阵与矩阵可对角化的条.pptx
P12-1§3.2相似矩阵与矩阵可对角化的条件相似矩阵及其性质矩阵可对角化的条件
P12-2一、相似矩阵及其性质1.Def.:设A,B为n阶矩阵,若存在n阶可逆矩阵P,使得P-1AP=B,则称矩阵A与矩阵B相似,记作A~B.如设易验证??注
P12-3一、相似矩阵及其性质1.Def.:设A,B为n阶矩阵,若存在n阶可逆矩阵P,使得P-1AP=B,则称矩阵A与矩阵B相似,记作A~B.(1)自反性:A~A(2)对称性:若A~B,则B~A2.相似的性质1)设A，B，C为n阶矩阵，则(3)传递性:若A~B,B~C,则A~C2)设矩阵A~B，则A,B具有相同的特征值.3)设矩阵A~B，则Am~Bm,其中
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相似矩阵与矩阵的对角化.pptx
5.3相似矩阵与矩阵的对角化
定理5
若n阶矩阵A与对角阵推论由于对角句阵的特征值为对角线上的元素,所以由定理5得
定理6
推论1如果矩阵A的特征值都是单特征根，则A与对角矩阵相似.01推论102
推论2
例3设矩阵解
例4设A是3阶矩阵且I+A,3I－A,I－3A均不可逆.证明：1证2
由前面的例题可知,并不是任何一个方阵都可对角化的,但是当方阵A为实对称矩阵时,A必可对角化,且实对称矩阵对于我们讨论下面的二次型非常重要.
AB实对称矩阵的特征值全为实数.定理7
定理8
由于相互正交的向量必线性无关，所以我们得到。推论对应实对称矩阵不同特征值的特征向量必定线性无关若λ是实对称矩阵A的r重特征
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线性代数3.2相似矩阵和矩阵可对角化的条件.ppt
如果存在一个 阶;定义3.3 设A,B是n 阶矩阵,;则 。;可以有;和传递性.;若 ,;设 , ,;条件是;可以对角化.;是唯一确定的.;;应满足的条件。;由;基础解系 。;得到基础解系 。;这里不作详细介绍。
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相似矩阵与矩阵可对角化的条件(免费阅读).ppt
* * 4.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件 对角矩阵是最简单的一类矩阵.对任一n阶 矩阵A，是否可将它化为对角矩阵，并保持A 的许多原有的性质，在理论和应用方面都具 有重要意义 一.相似矩阵及其性质 由此可以看出，与A相似的矩阵不是唯一的，也未必是 对角矩阵.然而，对某些矩阵，如果适当选取可逆矩阵P， 就可能使 成为对角矩阵 相似使同阶矩阵之间的一种重要关系，具有下述性质： 设A,B,C为n阶矩阵，则 相似矩阵还有下面的性质： 对于相似矩阵还有以下性质： 相似矩阵的行列式相等. 相似矩阵的秩相等. 相似矩阵或都可逆或都不可逆. 二.矩阵可对角化的条件
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第二节 相似矩阵和矩阵对角化的条件.ppt
* * * * * * * * * * 第二节 相似矩阵和矩阵对角化的条件 一．相似的定义 设A、B都是n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得 则称A相似于B． 记作 （A等价于B： ） 则 因为存在可逆矩阵 使得 则 因为存在可逆矩阵 使得 即 对于可逆矩阵 设 则 对于可逆矩阵 设 则 注 １．一般来说,与 n 阶矩阵A相似的矩阵可能不只一个． 因为对于任意的 n 阶可逆矩阵 都有 不同，则 可能不同， 但都有 ． 2．与数量矩阵相似的矩阵只有它自身． 1．反身性： 2．对称性：
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4﹒3相似矩阵和方阵的对角化.ppt
一、 相似矩阵及其性质;相似矩阵有相同的秩。
相似矩阵的行列式相等。
相似矩阵或都可逆或都不可逆。
当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。;推论 若 阶方阵A与对角阵;证明 必要性：;; 矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置
要相互对应．;说明;例1;定理4.6 实对称矩阵的特征值为实数.;于是有;定理4.6的意义;证明;定理4.8;4.8; 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化
为对角矩阵，其具体步骤为：;解;解之得基础解系 ;解之得基础解系;;;;相似矩阵有相同的秩。
相似矩阵的行列式相等。
相似矩阵或都可逆或都不可逆。
当它们可逆时，它们的逆矩阵也
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53相似矩阵及矩阵的对角化.ppt
§5.3相似矩阵与矩阵的对角化;定理 5; 由于对角句阵的特征值为对角线上的元素,所以由定理5得;定理 6;推论1 如果矩阵 A 的特征值都是单特征根，则 A 与对角矩阵相似 .;推论 2;例3 设矩阵;例4 设 A 是 3 阶矩阵且 I + A , 3I－A ,I－3A 均不可逆 .证明 ：; 由前面的例题可知,并不是任何一个方阵都可对角化的,但是当方阵A为实对称矩阵时,A必可对角化,且实对称矩阵对于我们讨论下面的二次型非常重要.;定理 7;定理 8;定理 9; 基本要求
(1)理解特征值与特征向量的定义,了解其性质,会计算特征值与特征向量.
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52 相似矩阵和矩阵的对角化.ppt
线 性 代 数 第五章 矩阵的特征值与特征向量 山西财经大学 冯晨娇 5.2 相似矩阵和矩阵的对角化 本节介绍 相似矩阵的概念和矩阵的对角化的条件。 5.2.1 相似矩阵及其性质 定义5.3 设Ａ、Ｂ为ｎ阶矩阵,若存在n阶 可逆矩阵Ｐ， 使得 则称矩阵Ａ相似 记作： Ａ～Ｂ． ※ 引入相似矩阵，主要是希望由矩阵B的特性简单的推知 A 的结果，显然矩阵B越简单越好，一般要求 B 为对角矩阵。先看下例及相似矩阵的性质： 于矩阵Ｂ。 例如， 即 A～B。 令 ，则
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53相似矩阵和矩阵的对角化.ppt
§5.3相似矩阵与矩阵的对角化 数 = = 线 性 代 * 定理 5 由于对角句阵的特征值为对角线上的元素,所以由定理5得 推论 若n阶矩阵A与对角阵 定理 6 推论1 如果矩阵 A 的特征值都是单特征根，则 A 与对角矩阵相似 . 推论1 推论 2 例3 设矩阵 解 例4 设 A 是 3 阶矩阵且 I + A , 3I－A ,I－3A 均不可逆 .证明 ： 证 由前面的例题可知,并不是任何一个方阵都可对角化的,但是当方阵A为实对称矩阵时,A必可对角化,且实对称矩阵对于我们讨论下面的二次型非常重要. 定理 7 实对称矩阵的特征值全为实数. 定理 8