第二节 相似矩阵和矩阵对角化的条件.ppt

* * * * * * * * * * 第二节 相似矩阵和矩阵对角化的条件 一．相似的定义 　　 设A、B都是n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得 则称A相似于B． 记作　　　 　（A等价于B：　　 ） 则 因为存在可逆矩阵 使得 则 因为存在可逆矩阵 使得 即 对于可逆矩阵　 设　　　　 则　　　 对于可逆矩阵 设　　 则　　 注 １．一般来说,与 n 阶矩阵A相似的矩阵可能不只一个． 因为对于任意的 n 阶可逆矩阵　　都有　　 不同，则　可能不同，　　 但都有　　　．　　 2．与数量矩阵相似的矩阵只有它自身． 1．反身性： 2．对称性： 3．传递性： 二．相似的性质 4．若 则 ５．若 则　与　的特征值相同 7．若 则 6．若 则　与　的迹相同 可逆 可以表示成一些初等矩阵的乘积 即 8.若 则 由性质5可知： 若两对角阵相似，则两对角线上的元素，不计次序外，完全相同． 三. 矩阵可对角化的条件 条件1(充要条件）： 证明：必要性 显然， 且　　　　　线性无关． A有n个线性无关的特征向量． 是A的特征值， 是A的属于 的特征向量． 又　　　　　　　线性无关 充分性 设Ａ有n个线性无关的特征向量： 它们所对应的特征值依次为： 则有 由于　　　　　线性无关，故Ｐ可逆． 于是， 若A有n个线性无关的特征向量,则A与对角阵　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　相似，且 　　其中，　　　　　是Ａ的n个特征向量，　　　　　　　 是Ａ的属于　的特征向量． 判断矩阵 是否和对角矩阵相似 判断矩阵 是否和对角矩阵相似． 若相似，求出可逆矩阵 ，使得 当　　　时， 令　　　　　　　 得基础解系　　　　　　　 令　　　　　　　 得基础解系　　　　　　　 当　　　时， 故Ａ不与对角阵相似．　　　　　　　 共２个,２４，　　　　　 n阶矩阵相似于对角阵的充分条件： 若n阶矩阵A的n个特征值互不相同，则A一定相似于一个对角阵． n阶矩阵相似于对角阵的充要条件２： 对于每一个　重特征值　，矩阵　　　的秩为　　　 即对于每一个特征值　，都有：　　　 则Ａ相似于对角阵． 的重数