53相似矩阵和矩阵的对角化.ppt

§5.3相似矩阵与矩阵的对角化 数 = = 线 性 代 * 定理 5 由于对角句阵的特征值为对角线上的元素,所以由定理5得 推论 若n阶矩阵A与对角阵 定理 6 推论1 如果矩阵 A 的特征值都是单特征根，则 A 与对角矩阵相似 . 推论1 推论 2 例3 设矩阵 解 例4 设 A 是 3 阶矩阵且 I + A , 3I－A ,I－3A 均不可逆 .证明 ： 证 由前面的例题可知,并不是任何一个方阵都可对角化的,但是当方阵A为实对称矩阵时,A必可对角化,且实对称矩阵对于我们讨论下面的二次型非常重要. 定理 7 实对称矩阵的特征值全为实数. 定理 8 定理 9 由于相互正交的向量必线性无关，所以我们得到。 推论 对应实对称矩阵不同特征值的特征向量必定线性无关 若λ是实对称矩阵A的r重特征根，则对应特征值λ恰有r个线性无关的特征向量。 证明（略） 由定理6，定理7，定理8和定理9可以得到 定理 10 实对称矩阵A一定可以对角化。即存在正 交矩阵P,使P-1AP=Λ，其中Λ是以 A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。