7-2一阶线性微分方程.ppt

微分方程 第二节 2. 解非齐次方程 例3. 求方程 二、伯努利方程 内容小结 思考与练习 伯努利(1654 – 1705) * 一阶线性微分方程 一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程 第七章 一阶线性微分方程的标准形式: 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 一、线性方程 例如 线性的; 非线性的. 齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 例1 例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . 两边求导得 解 解此微分方程 所求曲线为 的通解 . 解: 注意 x, y 同号, 由一阶线性方程通解公式 , 得 故方程可 变形为 所求通解为 这是以 为因变量, y为 自变量的一阶线性方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程. 求出通解后，将 代入即得 代入上式 解 例4 例5 用适当的变量代换解下列微分方程: 解 所求通解为 解 分离变量法得 所求通解为 解 代入原式 分离变量法得 所求通解为 另解 1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 化为线性方程求解. 2. 伯努利方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 判别下列方程类型: 提示: 可分离 变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 伯努利方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练 习 题 练习题答案 * * * *