D一阶线性微分方程1.ppt

第四节 一、一阶线性微分方程 2. 解非齐次方程 例1. 解方程 例2. 有一电路如图所示, 因此所求电流函数为 内容小结 2. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程 思考与练习 作业 备用题 2. 设有微分方程 2) 再解定解问题 * 目录 上页 下页 返回 结束 一阶线性微分方程 第七章 数学中的线性运算是指加减或乘以常数的运算。而在微分方程中，自变量对未知函数y而言相当于常数，微分方程中的线性是指未知函数y和它的各阶导数或微分只有加减或只是乘以自变量或自变量的函数。而未知函数y和它的各阶导数或微分之间没有相乘或其他形式的运算或函数形式。最终都可以化为形如dy/dx ＋p(x)y=q(x)的微分方程就叫做一阶线性微分方程,其中p(x)，q(x)可以是自变量的任意函数。 q(x)恒为零，则式子为一阶线性齐次方程，否则为一阶线性yy-2xy=3 yy有相乘关系，所以不是线性的非齐次方程。因此齐次方程与非齐次方程是一阶线性微分方程的两大分类，一个一阶线性微分方程不是齐次方程就是非齐次方程。 yy‘-2xy=3, yy’有相乘关系，所以不是线性的 y‘-cosy=1, cosy已经不是 ydx+(x-y^3)dy=0 (y)2+p(x)y+q(x)=0, y+p(x)y2+q(x)=0 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) ? 0, 若 Q(x) ? 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为齐次方程 ; 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 用常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 解: 先解 即 积分得 即 用常数变易法求特解. 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 令 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 电阻 R 和电 ～ 解: 列方程 . 已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为 因此有 即 初始条件: 由回路电压定律: 其中电源 求电流 感 L 都是常量, 解方程: 由初始条件: 得 利用一阶线性方程解的公式可得 ～ 暂态电流 稳态电流 解的意义: ～ 1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 例如, 解方程 法1. 取 y 作自变量: 线性方程 法2. 作变换 则 代入原方程得 可分离变量方程 判别下列方程类型: 提示: 可分离 变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 P315 1 (1), (2),(3), (4); 2 (2),(4); 6 ; 第五节 习题课1 1. 求一连续可导函数 使其满足下列方程: 提示: 令 则有 线性方程 利用公式可求出 其中 试求此方程满足初始条件 的连续解. 解: 1) 先解定解问题 利用通解公式, 得 利用 得 故有 此齐次线性方程的通解为 利用衔接条件得 因此有 3) 原问题的解为 * 目录 上页 下页 返回 结束 * * * *