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一阶线性微分方程的解

你也许想先阅读微分方程和分离变量法！

微分方程是有函数及其一个或以上的导数的方程：

微分方程

（导数）

y+dy5x

dx

dy

例子：这个方程有函数y和它的导数dx

在这里我们会了解怎样解一种特别的微分方程：一阶线性微分方程

一阶

23

一阶的意思是只有dy，而没有dy或dy等

dxdx2dx3

线性

若微分方程可以写成以下的格式，它便是一阶微分方程：

dy

+P(x)y=Q(x)

dx

其中，P(x)和Q(x)是x的函数。

我们可以用一个特别的方法来解：

建立两个新的x的函数，叫u和v，并设y=uv。

接着解u，再解v，最后整理一下就行了！

我们也会利用y=uv的导数（去看导数法则（积法则））：

dydvdu

=u+v

dxdxdx

步骤

以下我们逐步来解释这个解法：

一、代入y=uv和

dydvdu

=u+v

dxdxdx

到

dy+P(x)y=Q(x)

dx

二、因式分解有v的部分

三、设v的项为零（结果是u和x的微分方程，我们在下一步来解）

四、用分离变量法来解u

五、代入u到在第二步得到的方程

六、解这个方程来求v

七、最后，代入u和v到y=uv来得到原来的微分方程的解！

举个例会比较清楚：

例子：解：

dy−y=1

dxx

首先，这是不是线性的？是，因为格式是

dy