作业23微积分答案一阶线性微分方程.pdf
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作业23一阶线性微分方程
d
1.解微分方程：sin
d
解.sin,
−d(d)
eed
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一阶线性微分方程的解
你也许想先阅读微分方程和分离变量法！
微分方程是有函数及其一个或以上的导数的方程：
微分方程
（导数）
y+dy5x
dx
dy
例子：这个方程有函数y和它的导数dx
在这里我们会了解怎样解一种特别的微分方程：一阶线性微分方程
一阶
23
一阶的意思是只有dy，而没有dy或dy等
dxdx2dx3
线性
若微分方程可以写成以下的格式，它便是一阶微分方程：
dy
+P(x)y=Q(x)
dx
其中，P(x)和Q(x)是x的函数。
我们可以用一个特别的方法来解：
建立两个新的x的函数，叫u和v，并设y=uv。
接着解u，再解v，最后整理一下就行了！
我们也会利用y=uv的导数
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一阶线性微分方程的基本形式一阶线性微分方程的一般形式为：y+p(x)y=q(x)。其中，p(x)和q(x)是关于x的已知函数，y(x)是关于x的未知函数，y是y(x)对x的一阶导数。
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课题一阶线性微分方程
课时2课时（90min）
知识技能目标：
（1）理解一阶线性微分方程的概念，掌握一阶线性微分方程的求解方法
（2）熟练掌握用公式及常数变易法求解一阶线性微分方程的方法
教学目标
素质目标：
（1）通过数学建模能力的提升，培养其创新精神
（2）培养学生主动交流的合作精神，培养学生善于探索的思维品质
教学重点：求解一阶线性微分方程的方法
教学重难点
教学难点：一阶线性微分方程公式法的推导
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教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材
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首页 上一页 下一页 结束 《微积分》 (第三版) 教学课件 首页 上一页 下一页 结束 《微积分》 (第三版) 教学课件 §9.2 一阶微分方程 一、可分离变量的一阶微分方程 三、一阶线性微分方程 二、齐次微分方程 一阶微分方程 一般形式： 常见形式： 注：学习微分方程的重点： 正规型 微分型 这种类型怎么解？ 方程是什么类型？ 不可少 一、可分离变量的一阶微分方程 可分离变量的微分方程 如果方程F(x, y, y?)?0能写成形如 的形式? 则方程F(x, y, y?)?0称为可分离变量的微分方程? 方程的解法 (1)分
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16
1
特征
16
2
记住公式
16
3
简单
麻烦
16
4
16
5
16
6
16
7
16
8
16
9
必须记住！
16
10
16
11
16
12
注意
16
13
16
14
16
15
16
16
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(1)′′′;
解.e
(2)′′′e−;
解.e−ee−
(3)′′′e
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1.求下列微分方程的通解：
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yeCCx.
(2)y′′y′;
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故得原线性非齐次微分方程的通解为 （二）一阶线性非齐次微分方程的求解 例2 * 解法2 公式法 将其代入公式通解公式，得通解 * 将方程标准化为 于是 由初始条件 故所求特解为 得 例3 解 的特解. （二）一阶线性非齐次微分方程的求解 * 注意: 类似地，对于以x为函数的一阶非齐次线性方程 同时也有常数变易法. （二）一阶线性非齐次微分方程的求解 * 例4 则方程可改写为 解 对于未知函数x(y为自变量)来说， 其通解公式为 性非齐次方程 上式方程为一阶线 由方程变为 则显然不是线性微分方程. （二）一阶线性非齐次微分方程的求解 * 这里 将其代入通解公式， 得所求方程
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1、填空题
3′3
1）函数yCx是微分方程y−y0的通解。
x
lnx+C
2）微分方程2y′=−y的通解是ey。
xey1xe
x
3）已知二阶线性齐次方程的两个解为y1ex,y2xex，则该方程为
′′′
y−2y+y0。
4）方程ydx+x−e−ydy0的通解为xy+e−yC。
()
5方程y′′+y2cosx的特解形式为yx(acosx=+bsinx)。
2、求下列微分方程的通解
1）22
ydx+xdyxydy
2
y
2
yxy
′
解：原方程可化为y2，令u=⇒yxu
xy−xy−1x
x
2
u
′
u+xu
u−1
变量分离两边积分得
u−11
∫du∫dx=
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作业24全微分方程
1.判断下列微分方程哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解：
(1)dd
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第四节 一、一阶线性微分方程 2. 解非齐次方程 例1. 解方程 例2. 有一电路如图所示, 因此所求电流函数为 内容小结 2. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程 思考与练习 作业 备用题 2. 设有微分方程 2) 再解定解问题 * 目录 上页 下页 返回 结束 一阶线性微分方程 第七章 数学中的线性运算是指加减或乘以常数的运算。而在微分方程中，自变量对未知函数y而言相当于常数，微分方程中的线性是指未知函数y和它的各阶导数或微分只有加减或只是乘以自变量或自变量的函数。而未知函数y和它的各阶导数或微分之间没有相乘或其他形式的运算或函数形式。最终都可以化为形
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* 第四节 一阶线性微分方程 一、线性方程 和未知函数的导数都是一次的. 方程中未知 这类方程称为一阶线性微分方程. 上述方程的特点是: 函数 一阶线性微分方程的标准形式 非齐次的. 齐次的; 其中 是 x 的已知函数. 一阶齐次线性微分方程: 基本思想: 化为 的形式. 补例1 求方程 解 的通解. 基本思想: 化为 的形式. 方程左边设法凑成一个导数 所以 所求方程的通解为 补例2 的通解. 求方程 解 方程两边同乘以 化为上例. 得 一般的, 对于方程 也可考虑方程两边同乘以一个函数 (待定), 设法使方程左边凑成一个导数. 欲化为 非齐次 只需求出 从而 代入上式即可得通解. 上式与