一阶线性微分方程 2.ppt

* 第四节 一阶线性微分方程 一、线性方程 和未知函数的导数都是一次的. 方程中未知 这类方程称为一阶线性微分方程. 上述方程的特点是: 函数 一阶线性微分方程的标准形式 非齐次的. 齐次的; 其中 是 x 的已知函数. 一阶齐次线性微分方程: 基本思想: 化为 的形式. 补例1 求方程 解 的通解. 基本思想: 化为 的形式. 方程左边设法凑成一个导数 所以 所求方程的通解为 补例2 的通解. 求方程 解 方程两边同乘以 化为上例. 得 一般的, 对于方程 也可考虑方程两边同乘以一个函数 (待定), 设法使方程左边凑成一个导数. 欲化为 非齐次 只需求出 从而 代入上式即可得通解. 上式与 比较, 得 欲化为 现在来求 即 非齐次 即 分离变量得 求一阶非齐次线性微分方程 的通解公式 (2)将求出的因子 代入 通解为 一阶非齐次线性方程(1)的通解公式 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 非齐次 因子 例1 求方程 解 的通解. 方程两边同乘以 得 解 通解为 方程两端取不定积分, 得 例1 求方程 法二: 先求 故 的通解. 所求方程的通解为 补例3 的通解. 求方程 解 先把方程化为标准形式 与上例类似. 补例4 求方程 解 的通解. 方程两边同乘以 得 解 所求方程的通解为 方程两端取不定积分, 得 补例4 求方程 的通解. 补例5 求方程 解 的通解. 上式关于因变量y并非线性微分方程 但 即 把 x 作为因变量是一阶线性微分方程.