一阶线性微分方程例题与习题.ppt

一阶线性微分方程习题 例5 设函数 上连续且有界，试证明方程 的所有解在 上有界。 证明 设 为方程的任一解，满足 由公式或按上述变易法求解，得到 （1）;设 由（1）式两端取绝对值，有;取;;由求解公式，知方程的解为 于是 当 时，有;当 因此，只需证明;由积分中值定理证。 假设 那么，由积分中值定理，对任意闭区间 ;这与已知条件;例7 混合流体问题。容器内有含物质A的流体，当t=0时，流体体积 流入：流速 流出：流速 求时刻t时容器中物质A的质量及流体浓度。;解 设t时刻，容器内物质A的质量为x=x（t），浓度为 由微元法，经过时间dt，容器内物质A的增量dx为 或 又 ???入上式，有;即 因此，问题归结为求解初值问题 （1） 具体问题：某厂房容积为 经测定空气中含有 的速度输入含有 的新鲜空气，同时又排出等量的室内气体，问30分钟后室内所 ;;那么，初值问题的解满足 解出x，有 以t=30分=1800秒代入，得 即30分钟后，室内气体接近新鲜空气的程度。