数学竞赛中的正余弦定理综合练习题课件.ppt

*************************************例题9：复杂三角形面积计算1题目描述在三角形ABC中，点D是BC边上一点，满足BD:DC=2:1。点E是AB边上一点，满足AE:EB=1:3。求四边形ADEC的面积与三角形ABC面积的比值。2分析思路这个问题涉及三角形的分割和面积比较。可以利用面积公式和比例关系进行分析。一种方法是将四边形分解为多个三角形，利用面积加法性质求解。3解题策略通过建立坐标系，利用向量方法表示各点位置，然后计算面积。也可以利用面积比例关系，结合三角形分割定理求解。这个例题展示了三角形面积计算在复杂几何问题中的应用。通过分析特殊点的位置关系和三角形的分割，我们可以求解面积比值问题。这类问题在竞赛中常见，要求考生具备扎实的几何基础和灵活的解题思路。在解决此类问题时，选择合适的参考系和计算方法非常重要。下面我们将详细分析解题过程。例题9解析建立坐标系为简化计算，我们可以在直角坐标系中设置三角形ABC的位置。不失一般性，可以设A(0,0),B(c,0),C(d,h)，其中c,d,h为适当的常数。确定特殊点坐标根据点D在BC上的分割比例BD:DC=2:1，可以计算D的坐标：D=(2/3·c+1/3·d,1/3·h)。同理，根据点E在AB上的分割比例AE:EB=1:3，可以计算E的坐标：E=(3/4·c,0)。计算面积比三角形ABC的面积可以用坐标公式计算：S△ABC=(1/2)·|(xB-xA)(yC-yA)-(xC-xA)(yB-yA)|=(1/2)·|c·h|。四边形ADEC可以分解为三角形ADE和三角形DEC，分别计算面积后求和。得出结论经过计算，可以得出四边形ADEC的面积与三角形ABC面积的比值为5/12。这个解答展示了如何运用坐标几何和面积公式解决复杂的面积比值问题。通过建立合适的坐标系，我们可以将几何问题转化为代数计算，系统地求解面积关系。这种方法在处理复杂几何问题时非常有效，特别是当问题涉及多个特殊点和分割关系时。例题10：三角形面积最值问题题目描述在平面上固定两点A和B，距离为2c。点P在平面上移动，满足|PA|+|PB|=2a（常数，且ac）。求△PAB面积的最大值。问题分析这是一个条件极值问题，点P的轨迹是一个以A、B为焦点，长轴为2a的椭圆。我们需要求解在这个约束条件下，三角形PAB面积的最大值。解题思路三角形的面积可以用S=(1/2)·|PA|·|PB|·sin(∠APB)表示。在|PA|+|PB|=2a的约束下，我们需要找到使面积最大的点P的位置。数学工具这个问题可以利用椭圆的性质、三角不等式以及正余弦定理来分析。也可以使用拉格朗日乘数法处理条件极值问题。这个例题涉及几何优化和条件极值，是三角形面积公式在高级应用中的典型案例。在数学竞赛中，此类问题常要求考生综合运用多种数学工具，包括几何、代数和微积分知识。解决这类问题的关键是准确理解约束条件，并选择合适的数学工具进行分析。下面我们将详细讨论解题过程。例题10解析理解约束条件条件|PA|+|PB|=2a表明点P在以A、B为焦点，长轴为2a的椭圆上。椭圆的半长轴为a，半短轴为b=√(a2-c2)，其中2c是两焦点距离。分析面积表达式三角形PAB的面积S=(1/2)·|PA|·|PB|·sin(∠APB)。我们需要在约束|PA|+|PB|=2a下，最大化这个面积。利用不等式，可以证明当|PA|=|PB|=a且∠APB=90°时，面积达到最大值。计算最大面积在最优情况下，|PA|=|PB|=a且∠APB=90°。此时，三角形PAB的面积为S_max=(1/2)·a·a·sin(90°)=(1/2)·a2。考虑椭圆的几何性质，可以证明P点位于椭圆的短轴端点，最大面积为S_max=a·b=a·√(a2-c2)。验证结果通过分析椭圆的性质和三角形面积公式，可以验证上述结果的正确性。最大面积为S_max=a·√(a2-c2)。这个解答展示了如何运用几何性质和面积公式解决条件极值问题。通过分析椭圆的性质和三角形面积的表达式，我们找到了使面积最大的点P的位置和对应的最大面积。这种方法体现了几何直觉与代数分析的结合，是解决复杂几何优化问题的典型策略。练习题5问题一在三角形ABC中，已知边长a=5,b=7,c=9。点P在边BC上移动，求三角形ABP面积的最大值。问题二平面上有两点A和B，距离