现代控制原理线性系统的运动.ppt

第3章 线性系统的状态方程求解 3.1 线性定常系统齐次状态方程的解 3.3 非齐次状态方程的解（线性系统的一般运动） 2.3.1 线性离散系统的状态空间描述 考虑初始条件为零时的变换关系： 离散系统状态空间模型的意义: 线性连续系统和线性离散系统在模型结构上极为相似, 总结如下表所示: 例2-11 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型: y(k+2)+5y(k+1)+6y(k)=u(k+2)+2u(k+1)+u(k) 2.3.3 线性连续系统状态方程离散化的近似方法 2.4 线性定常离散系统状态方程求解 带入： 近似方法：用差商代替微商。 即令： 且令： 即： 式中： 自行分析例2-14 （P 119 ） . 采样周期T越小，近似精度越高 两种解法：迭代法和Z变换法。 迭代法：对于定常系统和时变系统皆适用。 由线性离散系统的状态方程： 当k=0，1，2…，k-1时，得到： 或: [例3.6] 重做[例3.3]已知系统矩阵 ，试用 凯莱-哈密尔顿定理方法求系统状态转移矩阵 。 解：在[例3-3]中已求出矩阵A 的特征值 注意求逆 b. A的特征值为 (n重根）(书P52) 推导：此时只有一个方程： 缺少n-1个独立方程，故需要对上式求导n-1次，得到其余n-1个方程 说明：不管特征值互异、还是具有重根，只需要记住式(3)。 对于特征值互异，对于每个特征值，直接得到方程； 对于特征值m重根，则求m-1次导数，补充缺少的m-1个方程。 联立方程可以求出系数。 [例3.7] 试用化矩阵指数 为A的有限项法求解 解:在[例3.4]中已求得矩阵A的特征值 【例2.8】 验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。 解：利用性质 所以该矩阵不是状态转移矩阵。 [例2.9] 根据已知状态转移矩阵，求A 解：根据状态转移矩阵性质2 线性系统的零状态响应就是在 求取非齐次状态方程 的解。 (一) 线性系统的零状态强迫运动 系统的运动由两部分组成 其中第1项 ,是初始状态的转移; 第2项是 ，为控制输入作用的受控项 正是由于受控项的存在，提供了通过选取合适的u使x(t)的运动轨迹满足期望的可能性。 两边左乘 而： 线性系统的零状态响应就是系统对于各个时刻，由输入量在该时刻引起的状态改变的转移对时间的积累 （二） 线性系统的一般运动 设线性系统的非齐次状态方程和输出方程为： 初始状态为 的解 由拉氏变换的卷积积分定理： 具体用哪个公式， 视求解方便而定。 ，输入矩阵 ， ，单输入u(t)为单位阶跃函数，试求系统的状态响应。 且 [例2.10]已知系统矩阵 解：在[例2.2]中已求 得状态转移矩阵： (1)输入响应： (2)初始状态响应： (3)状态响应： 保持器 采样器 D/A数字计算机A/D 连续系统 u(t) y(t) x(t) u(k) y(k) x(k) 离散化模型 计算机控制系统 2.3 线性离散系统的状态空间及连续系统的离散化 计算机控制系统： 在经典控制理论中- - 离散系统通常用差分方程或脉冲传递函数来描述。 SISO线性定常离散系统差分方程的一般形式为： 式中,k 表示第k 次采样的kT 时刻; T为采样周期;y(k)、u(k)分别为kT 时刻的输出量和输 入量; ai 和bi 为表征系统特性的常系数。 对上述差分方程模型两端取z 变换并加以整理可得脉冲传递函数(z 域传递函数) 上述描述的离散系统输入输出差分方程、传递函数分别与连续系统的输入输出微分方程、传递函数在形式上相同。 G(T)、H(T)、C(T)和D(T)分别为n?n 维的系统矩阵、n?r 维的 输入矩阵、m?n 维的输出矩阵和m?r 维的直联矩阵。 采用离散状态方程和离散输出方程组成线性定常离散系统的状 态空间模型，即： 其中，x(kT)、u(kT)和y(kT)分别为n 维的状态向量、r 维的输入向量和m 维的输出向量; 书写时常将T省去，简写成： 对于线性时变离散系统,其状态空间模型可记为： 输出方程表示了在kT采样时刻时,系统输出y(kT)与状态 x(kT)和输入u(kT)之间的关系。 描述了输出与系统内部的状态变量间的关系。 线性离散系统状态空间模型中的各矩阵的意义与连续系统 一致。 状态方程为一阶差分方程组,它表示了在(k+1)T采样时刻 的状态x((k+1)T)与在kT采样时刻的状态