现代控制原理线性系统的能控性和能观测性.ppt

第4章? 控制系统的状态空间分析 * 能控性和能观测性的概念 4.1 线性定常连续系统的能控性 4.2 线性连续定常系统的能观性 4.3 对偶性原理 （线性系统能控性与能观测性） 4.4 能控标准型和能观测标准型 4.5 线性定常离散系统的能控性与能观测性 4.6 线性系统的能控性和能观测性与传递函数 阵的关系 一个不能控、不能观测的系统，可以将其状态空间划分为四部分：能控且能观测子空间、能控但不能观测子空间、不能控但能观测子空间、不能控且不能观测子空间。把系统的空间分解成上述四部分就称为系统的规范分解。 4.6.1 系统的结构分解 一．系统按能控性分解 [定理4.24]设一个不能控系统的状态方程为: 若系统能控性矩阵的秩为r(rn)，则存在一个非奇异变换矩阵Tc： 将系统变换为能控性结构分解标准型： 一.对偶系统 系统 系统 二．对偶原理 系统 的状态完全能控性（能观测）的充要条件与其对偶系统 的状态完全能观测（能控）的充要条件相同。 则称系统 与 是互为对偶的。 对偶系统的结构图见教材P84图4-1。 证明见教材P84。 对偶原理同样适用于线性时变系统和线性离散系统。 利用对偶关系可以把系统的能观测性问题的研究转化为对偶系统的能控性的研究，从而沟通了最优控制与最优估计之间的内在联系。 4.4.1 系统的能控标准型 [定理4.15]:若单输入-单输出系统 ， 称这种系统为能控标准型,即该系统一定是完全能控的。 一．单输入-单输出系统的能控标准型 其A、B阵具有如下形式: 能控标准形常用于极点的最优配置，能观标准形常用于观测器的状态重构。其对系统的分析和综合有着十分重要的意义。 C 阵无要求 可通过计算能控性矩阵来验证： *为某一常数 能控性标准型 回顾 [定理4.16]若单输入-单输出线性定常系统 是能 控的，则必存在可逆线性变换P，将其变换成能控标准型。 变换阵P 的构成方法如下： (证明见教材P87 ) 法1： 法2： 化系统为能控标准形步骤： ②??构造能控性矩阵P； ①?构造判别阵Qc，判系统是否能控。? ③ 计算能控形矩阵 有2种方法（见前一页）。 [例4.9]试将下列状态空间表达式变换为能控规范形。 解：①先判断系统能控性，再计算变换阵，将状态方程化为能控标准形。 ? 化为能控标准形的变换阵P为（法1） : 系统能控 ? 计算能控形矩阵（用法1的计算参数）： （法2：（化为能控标准形的变换阵P ，构成方法如下）） 即： 不讲！ （? 计算能控形矩阵（用法2的计算参数） ） 的参数同法1中的计算参数，所以 的参数也同法1中的计算参数，即： 变换阵参数同法1的计算参数！ 一.单输入单输出系统 与变换为能控标准型的条件相似，只有当系统是状态完全能观时，系统的状态空间表达式才可能导出能观标准型。 4.4.2 系统的能观测标准型 [定义]若单输入-单输出线性定常系统 ，其中： 称这种系统为能观测标准形,且该系统完全能观测。 B 阵无要求 能观测标准形 回顾 [定理4.18]若单输入-单输出线性定常系统 是能 观测的，则必存在可逆线性变换To，将其变换成能观标准 形。且系统矩阵中 为系统特征多项式： 的系数。 变换阵To为（有2种方法）： 法1： 法2： 则有： 化系统为能观测标准型步骤： ②??构造变换矩阵To； ①?判系统是否能观测。? ③ 计算能观测型矩阵 [例4.10]试将状态空间表达式 解：①?判系统是否能观测:? 系统能观测，可以 化为能观测标准型。 变换为能观规范形。 ②??构造可逆变换矩阵To-1: ③ 计算能观测型矩阵: 对比[例4.9] 若存在阶梯控制作用序列 ， 一.线性定常离散系统的能控性定义及判据 [定义]对于n阶线性定常离散系统 能将系统从第k 个采样时刻的状态x(k)开始，在第n 个采样时刻达到零状态，即x(n)=0。即使系统从任意非零初始状态经有限步转移到零状态。称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。 若令： ,则有： ,能在第一步由 转移到零状态。 试分析能否找到控制作用u(0)，u(1)，…将初始状态 转移到零状态。 [例4.11] 设离散系统 解：利用迭代法，有 [例4.12]上例系统的初始状态若为 ， 能否找到控制作用序