第4章 线性系统的能控性和能观测性 《现代控制理论基础》李先允课件.ppt

4.9.2 能控标准实现和能观测标准实现 一、 SISO系统的能控标准形实现 若系统的传递函数G(s)为 其中 和 为实系数，则其能控规范I形实现的各矩阵分别为 能控规范II形实现的各矩阵分别为 2. SISO系统的能观测标准形实现 若系统的传递函数G(s)为严格真的有理实矩阵函数，则其能观 标准I形实现的各矩阵分别为 能观测标准II形实现的各矩阵分别为 （4－96） （4－95） （4－98） 其中B(s)为m×r维的s的实多项式矩阵；A(s)为n阶标量多项式。 上述传递函数阵的能控标准II形实现的各矩阵分别为 （4－99） 其中矩阵A，B，C和D的维数分别为(nr)×(nr)，(nr)×r，m×(nr)和m×r。而能观测标准II形实现的各矩阵分别为 （4－100） A，B，C和D的维数分别为(nm)×(nm)，(nm)×r，m×(nm)和m×r。 三、MIMO系统的能控标准形和能观测标准形实现 对于MIMO系统的传递函数阵，亦有类似于SISO系统传递函数的能控标准形实现和能观测标准形实现。 设给定的MIMO系统的传递函数阵为如下m×r维的严格真的有理实矩阵函数 4.9.3 最小实现 维数最小的实现称为系统的最小实现。 最小实现的判别准则： 判别准则：系统是给定传递函数阵G(s)的最小实现的充要条件为系统状态能控又能观测。 构造线性定常系统最小实现方法的步骤如下： 1. 对给定的传递函数阵G(s)先找出一种实现 ，如用较方便的能控标准形或能观测标准实现。为降低系统实现的维数，减少计算量，当输入变量比输出变量多，即rm时，采用能观测标准形实现为宜；反之，当输出变量比输入变量多，即rm时，采用能控标准形实现。 2. 对所得的系统实现进行能控能观测结构分解，所得的能控又能观测的子系统则是G(s)的最小实现。若对能控标准形进行能观分解，对能观测标准形进行能控分解，则可求得系统的最小实现。 不管采用何种确定最小实现的方法，最后求得的最小实现应具有相同维数。 设线性定常连续系统的状态空间模型为 （4-41） 系统的特征值为 ， ， ， 。其 中 可为单特征值或重特征值。经精确离散化的状态空间模型为 （4-42） 其中， 则连续系统 和其离散化系统 两者之间的状态能控性和能观测性关系为： 1. 如果连续系统状态不完全能控(不完全能观测)，则其离散化系统必是状态不完全能控(不完全能观测)的； 2. 如果连续系统状态完全能控(能观测)且其特征值全部为实数，则其离散化系统必是状态完全能控(能观测)的； 3. 如果连续系统状态完全能控(能观测)且存在共轭复数特征值，则其离散化系统状态完全能控(能观测)的充分条件为：对于所有满足 的A的特征值和应满足 （4-43） 其中符号Re和Im分别表示复数的实数部分和虚数部分。 4.5 能控标准形和能观测标准形 标准型是系统的状态空间表达式在一组特定的状态空间基底下导出的规范型式，在有的文献中也称规范型。标准型可将系统的某些特性表现得更为充分与明显，从而可简化系统的分析与综合问题。在采用状态空间法分析与综合系统时，根据研究问题的需要，常常采用线性非奇异变换将状态空间表达式化为某种特定的标准型式。 系统经线性非奇异变换，系统的特征值、传递函数矩阵、能控性、能观测性等重要性质均保持不变，因此，只有状态完全能控的系统才能化为能控标准型；只有状态完全能观测的系统才能化为