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线性系统理论 线性系统的运动分析 * 第三章 3.1 引言 从数学的角度，运动分析的实质就是求解系统的状态方程。以解析形式或数值分析形式，建立系统状态随输入和初始状态的演化规律。 解的存在性和唯一性条件 设系统状态方程 如果系统矩阵A(t),B(t)的所有元在时间定义区间[t0,tα]上为时间t的连续实函数，输入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一。 运动分析＝状态方程求解 ②输入矩阵B(t)的各个元αij(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积,即: ③输入u(t)的各个元uk(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即： 条件②③可一步合并为要求B(t)u(t)的各元在时间区间[t0,tα]上绝对可积。 从数学观点，上述条件可减弱为： ①系统矩阵A(t)的各个元αij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积，即： 3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析 系统的零输入响应 令输入u(t)=0而得到系统自治状态方程 结论：系统自治状态方程的解，具有以下形式 其中 若初始时间取为t0≠0则 线性系统响应＝零输入响应+零初态响应 矩阵指数函数的性质 (4) 设A和F为两个同维可交换方阵，即AF=FA 则有 矩阵指数函数的算法 1：定义法 2：特征值法 1）若 则 2）若 则 3）若 其中 则 其中 例 例 3：有限项展开法 设λ1,λ2,…λn为A的n个互异特征值 而 若λi为l重特征值，则相应的l个方程为 4：预解矩阵法 例 令 系统的零初态响应（非齐次方程的解） 考虑连续时间线性时不变系统，令x(0)=0, 则系统方程为： 结论：连续线性定常系统的零初态响应即为上述状态 方程的解： 如 t≥t0,而t0≠0，则 线性系统的全响应 全响应＝零输入响应+零状态响应 零输入响应 零初态响应 系统状态运动规律的基本表达式 设系统的状态空间描述为 有表达式 对初始时刻t0=0情形有表达式 3.3连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵 不论是由初始状态引起的运动，还是由输入作用引起的用动，都是一种状态转移，可以用状态转移矩阵来表示。 定义：对于给定的线性定常系统 其中，x为n维向量，称满足如下矩阵方程 的n×n解阵Φ(t-t0)为系统的状态转移矩阵 基于状态转移矩阵的系统响应表达式 ①②③ ①②③ ①状态转移矩阵的零输入响应关系 ②状态转移矩阵的零初态响应关系 ③连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵运动规律 状态转移矩阵的特性 3.4连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵 线性时变系统的输出为： 假设初始条件为零，输入信号中，ui(t)为单位脉冲信号,其余的输入信号为零。即： 则输出为 i位置 脉冲响应：零初始状态下以单位脉冲为输入的系统输出响应 * * * * *