线性系统理论线性系统的运动分析.ppt

第三章  线性系统的运动分析 3.1 运动分析的含义 3.1.1 问题的提出及其解的存在 惟一性 分析系统运动的目的:从其数学模型出发,定量地和精确地定出系统运动的变化规律,以便为系统的实际运动过程做出估计. 只有当状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时,对系统运动的分析才有意义. 3.1.2 线性系统响应的特点 线性系统满足叠加原理 可以把系统在初始状态和输入向量作用下的运动,分解为两个单独的分运动,即由初始状态引起的自由运动和由输入作用引起的强迫运动; 系统由初始状态和由输入作用引起的整体响应就由零输入响应(输入为零时)与零状态响应(初始状态为零时)两者的叠加。 3.2 状态转移矩阵及其性质 3.2.1 线性齐次方程的解空间 3.2.2 状态转移矩阵的定义 3.2.3 状态转移矩阵的性质 3.3 线性时变系统的运动分析 3.3.1 线性时变系统的零输入响应 3.3.2 线性时变系统的零状态响应 3.3.3 时变线性系统的整体响应 3.4 线性定常系统的运动分析 3.4.2 线性定常系统的响应 3.5 脉冲响应矩阵 3.5.1 单变量情形的简单回顾 系统的脉冲响应函数是它的传递函数的Laplace反变换。 脉冲响应函数描述了系统输入-输出的时域关系。 传递函数描述了系统输入-输出的频域关系。 3.5.2 脉冲响应矩阵的定义与系统的输出响应 3.5.3 状态空间模型的脉冲响应矩阵 3.5.4 脉冲响应矩阵与传递函数矩阵 所以有 最后由定理3.4.2可得 定义3.5.1 考虑一个具有 个输入端和 的脉冲响应。 个输出端的线性定常系统，假设系统具有 零初始状态，令在 时刻加于第 个输入端一个单位脉冲函数 而令其他输入端的输入为零，则用 表示第 个输出端在时刻 ， 为元所构成的 阶矩阵 而以脉冲响应 称为系统的脉冲响应矩阵。并且，由于系 统满足因果律，且总是假定系统的输出在 输入加入之前的所有瞬时为零，所以 具有性质 和 定理3.5.1 由 所描述的线性系统的脉冲响应矩阵为 或将其写成常用的形式 * * 定理3.2.1 齐次方程 的所有解的集合组成实数域上的n维向量空间。 定义3.2.1 设 是方程 的一组线性独立的解，那么矩阵 称为方程 的基本解阵。 性质1 如果 满足方程 且对某个 非奇异，那么 必为方程 的基本解阵。 性质2 对任意 ，基本解阵 都是非奇异的。 定义3.2.2 令 是方程 的基本解阵，则矩阵 称为系统的状态转移矩阵。 命题3.2.1 设 为系统 的状态转移矩阵，则它具有下述性质： 1.自反性：对任意 ，有 2.反身性：对任意 和 ，有 3.传递性：对任意 ， 和 ，有 命题3.2.2 设 为系统 的状态转移矩阵，且系统 满足解的存在唯一性条件，则 与方程 的基本解阵的选取无关,且由下述矩阵微分方程惟一决定 定理3.3.1 设时变线性系统满足解的存在 唯一性条件，记 为其状态转移矩阵,则 定理3.3.2 设线性时变系统满足解的存在 唯一性条件，记 为其状态转移矩阵，则 例3.3.1 给定线性时变系统 求其在单位阶约函数 作用下以 和 为初始状态的状态响应。 解:首先来求状态转移矩阵，为此来考虑零输入 时的状态方程 对其求解可以得到 取两组不同的初值 和 可得到两个线性无关解 从而系统的一个基本解阵可取为 由此可得 下面我们来计算系统的响应 3.4.1 矩阵指数函数 定理3.4.1 设 ，则 1. 2. 3. 为可逆矩阵，且 4. 对于与 可交换的 阶方阵 有 5. 6. 7. 如 ，则 8. （此处L为Laplace变换算符） 命题3.4.1 设 方法1 基于Levirrier算法求取 方法2 基于Jordan分解求取 具有互异特征值 为 的与 相对应的特征向量，记 则 命题3.4.2 设 为一 阶Jordan块， 为其特征值，则: 阶方阵，且具有互异 特征值 时，式 成立。 命题3.4.3 设 为 ，则当取 方法3 基于Cayley-Hamilton定理计算 （二重）， （三重）， 具有重特征值但为循环阵时，比如其 特征值为 当 ， 此时有 定理3.4.2 定常线性系统 的状态转移矩阵为 定理3.4.3 给定线性定常系统 ，则它的 1.零输入状态响应和零输入输出响应 分别是