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第二章：线性系统的运动分析(第四讲) 内容介绍：状态方程的解、离散系统的状态方程的解、离散化方法 状态方程及其解 一般P个输入，m个输出的线性定常系统 =Ax+Bu y=Cx (D=0时，称为严格的定常系统) 其中An×n、Bn×p、Cm×n阵, 阵中各元素均为常数。 对此一般系统的分析，本质上为对状态空间表达式的分析。 如果已知x(t)、y(t)，则系统运动一目了然。 问题归结为：求解方程 =Ax+Bu。 事实上，求解 =Ax+Bu 完全可利用现成程序。 （但作为专业课了解并掌握状态方程解的求法十分重要，一并介绍常用术语。） 一、齐次方程的解 （输入u=0时） =Ax 当初值为 x(t)|t=0 = x0 其解为 x(t)= ---A为n×n阵，为特定的矩阵函数 事实上，可设其解为 则 代入方程有： 比较有： 且t0=0时x(0) =b0 （因为 输入u=0 为零输入响应） 引入记号 则 视为将x(0)转移到x(t)的变换 称其为状态转移阵。 可见：系统的状态可由状态转移阵决定。 同理：设t0为初值 则 其中 解释为：随时间推移， 状态x不断变化 ， 其变化规律由决定。 的作用十分重要。 1、矩阵函数的性质 1. 矩阵对有限时间t收敛，且绝对收敛。 t=0时 为单位矩阵 3. 对 的t的微分（求导） 4. 5. 在4中令s=－t 说明可逆 (为非奇异阵) 同样 与互逆 2、状态转移阵的性质 1、 2、 3、 合并作用意味着从t0到t2转移 4、 5、 的作用意味时间的逆转， 即从目前状态推知历史状态。 以上有关状态转移阵的性质对一般系统（含非线性）均成立。 二、非齐次方程的解 (具外作用u时) =Ax+Bu x(0)=x0 变换方程 - Ax =Bu 左乘e-At 有 从0 ~ t 积分: 引入 有： 响应= 零输入响应+零初值响应（状态） 若设初值x(t0) 可见，非齐次方程的解也取决于状态转移阵。 下面问题归结为求= ？ 三、用L氏变换法求线性定常系统的 =Ax+Bu 设 有：s x(s)－x(0)=Ax(s)+Bu(s) (sI－A)x(s)=x(0)+Bu(s) x(s)=(sI－A) –1 x(0)+(sI－A) –1 B u(s) 取反L氏变换： x(t)=L–1 [(sI－A) –1 x(0)+(sI－A) –1 Bu(s)] = L–1 [(sI－A) –1 ]x(0)+ L–1 [ (sI－A) –1 Bu(s)] =x(0)+ 有：= L–1 [(sI－A) –1 ] 到目前为止有了求几种解的方法 定义求法 = L–1 [(sI－A) –1 ] 其它方法 可见，若已知状态转移阵, 再在求输出是容易的。 ex: r = sin t 且 求: y=? 解：① 列写状态方程 取: 且令u= 则: 初值 矩阵形式： 令x= ② 求解方程（求 ） 用定义法求 - - - 或用 其中adj(sI-A)是伴随阵，亦第i行,第j列元素为划去SI-A阵中第j行,第i列之后形成行列式加上符号（-1）i+j,其元素是（SI-A）的代数余子式。 四、离散系统的解 线性定常系统（离散）的解法 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) y(k)=Cx(k)+Du(k) 初值x(0),输入u 已知,为一阶差分方程组。 解法有二：1、迭代法；2、 z变换法。 1、迭代法： x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) 其中，x(0)已知，u(0),u(1)已知 y(k)=Cx(k)+Du(k) 令：k=0时 解出 x(1)=Gx(0)+Hu(0) x(2)=Gx(1)+Hu(1)=x(0)+GHu(0)+Hu(1) x(k)=x(0)+ Hu(j) 称x(k)为一般解，类似于连续时间系统。为状态转移阵，记为Ф(k)。 则： x(k)= Ф(k)x(0) + Ф(k－j－1) 零输入响应 零状态响应 代入方程 y(k)=CФ(k)x(0)+CФ(k―j―1)+Du(k) 注：只要有了Ф(k)则可